无穷维哈密顿系统的长时间动力学行为

Since 1990， there are great developments about the research in infinite-dimensional Hamiltonian systems， such as KAM theory， Birkhoff normal form theory， Arnold diffusion. However， there are still some problems which should be further studied. Precisely, we would like to make use of KAM theory and Birkhoff normal form theory to study the long time stability of the origin and KAM tori and the existence of the infinite-dimensional KAM tori for infinite-dimensional Hamiltonian systems.

自从上世纪90年代以来，对无穷维哈密顿系统的研究有了长足的发展，例如KAM理论，Birkhoff标准型理论，Arnold扩散等等。但是仍有一些问题需要进一步地研究。本项目主要研究的是无穷维哈密顿系统的长时间稳定性。具体地，我们想利用无穷维哈密顿系统的KAM理论和Birkhoff标准型理论来研究无穷维哈密顿系统原点和KAM环面的长时间稳定性以及无穷维KAM环面的存在性。

研究哈密顿偏微分方程的长时间动力学行为是一个基本问题。在这个方向，菲尔兹奖得主Bourgain做出了开创性工作。1996年，Bourgain利用无穷维哈密顿系统的Birkhoff normal form技术证明了一维薛定谔方程，一维波方程多项式时间长的稳定性结果。随后，一大批学者，例如Bambusi，Delort，Grebert，Procesi等做出很多代表性工作，研究更多类方程的长时间稳定性结果。 在本项目的资助下，我们证明了一维波方程，以及非线性项带有导数的薛定谔方程的次指数时间长的稳定性结果。这两个结果都发表在Top期刊《Journal of Differential Equations》。. 2004年，Kuksin（ICM45分钟报告人）提出了一个公开问题： 哈密顿偏微分方程是否存在环面半径是多项式衰减的全维环面。2005年，Bourgain在这个问题上做出了开拓性工作，证明了一维薛定谔方程存在环面半径是次指数衰减的全维环面。这一问题在随后的10年没有任何进展。2018年，我们推广了Bourgain在2005年的结果，并证明了该环面的长时间稳定性。