辛反射代数，分次Calabi-Yau代数及其PBW形变

本项目研究非交换代数几何中的Calabi-Yau(简记为CY)代数及其形变、辛反射代数和有理Cherednik代数。辛反射代数的出现源于对Kleinian奇点的非交换形变的研究；CY代数源自同调镜像对称猜想。辛反射代数是对称代数与辛群的斜群代数的PBW形变。我们的研究目标是用Jacobi型条件刻画CY代数的PBW形变的CY性质；用Hopf代数作用的同调行列式研究CY Hopf代数与CY代数的smash积的CY性质；研究量子齐次空间的同调性质及CY性质；研究有理Cherednik代数上的BGG范畴的结构、高阶辛反射代数的中心和高阶球面子代数之间的关系、以及球面子代数和高阶Koszul代数在有限群作用下的不变子代数的PBW形变之间的关系。

我们研究了Calabi-Yau代数及其PBW形变. 利用中心正则扩张和PBW形变之间的关系, 刻画了Koszul Calabi-Yau代数的中心正则扩张的Calabi-Yau性质, 以及Koszul Calabi-Yau代数PBW形变的Calabi-Yau性质; 给出了（不一定是诺特）Koszul AS正则代数的PBW形变的Nakayama自同构的计算方法. 建立了广义smash积上的PBW形变理论, 这类广义smash积代数包括有限特征域上的辛反射代数、Hecke代数、Lusztig型代数等...给出了一类5维Artin-Schelter正则代数的分类，以及一类5维Artin-Schelter正则代数上点摸的分类；..利用Hochschild上同调理论，证明了Ore扩张保持twisted Calabi-Yau 性质，并给出扩张前后Nakayama自同构的关系；...利用Hopf代数在AS-Gorenstein代数上的作用的同调行列式, 证明：若H是对合的Calabi-Yau Hopf代数, A是p-Koszul Calabi-Yau代数并且是左H-模代数，则A#H是Calabi-Yau代数当且仅当H在A上的作用的同调行列式是平凡的；..证明（非标准的）Podles量子球都具有Auslander正则性、Cohen-Macaulay性和Artin-Schelter正则性. 证明了量子包络代数U_q(g) 的量子齐次空间都是twisted Calabi-Yau 代数和AS-正则代数. 当量子齐次空间位于量子Borel 部分时, 得到了Nakayama 自同构的表达式. 如果一个pointed Hopf 代数的量子齐次空间是AS-Gorenstein的，则它有rigid对偶复形，其Nakayama 自同构可以通过它的同调积分确定. 对U_q(sl_2)的量子齐次空间进行了完全分类，并证明他们具有Auslander正则性、Cohen-Macaulay性和Artin-Schelter正则性...对多项式Poisson代数, 证明了系数在一个Poisson模M中的Poisson上同调和Poisson同调间存在一个twisted Poincare 对偶. 如果Poisson结构是 unimodular 的, 则twisted Poincare 对偶就是通常的 Poincare 对