量子群的PBW形变和A无穷Yoneda代数

The negative part of quantum groups is a very important class of connected graded algebras which are noncommutative and don't satisfy the K2 property. The A-infinity algebra methods can be used not only in investigating Koszul algebras, d-Koszul algebras and K2 algebras which are connected graded algebras with good homological properties, but also in constructing some non-Koszul Artin-Schelter regular algebras whose global dimension is 4. Drawing lessons from some researches about Artin-Schelter regular algebras, we will firstly study all possible A-infinity structures on the Yoneda algebras corresponding to negative parts of quantum groups. Moreover, noting the essential role of A-infinity algebra methods in classifying PBW-deformations of d-Koszul algebras, we will classify the PBW-deformations for the negative parts of quantum groups via A-infinity structures on their Yoneda algebras.

量子群的负部分是一类重要的非交换且不满足K2性质的连通分次代数。A无穷代数的方法不仅可以用于研究Koszul代数、d-Koszul代数和K2代数等具有较好同调性质的连通分次代数，而且可以用于构造非Koszul的整体维数为4的Artin-Schelter正则代数。借鉴Artin-Schelter正则代数情形的研究方法，本项目将首先研究量子群负部分的Yoneda代数上的A无穷结构。再者，注意到A无穷代数的方法在d-Koszul代数的PBW形变分类中发挥的关键作用，我们将利用量子群负部分的Yoneda代数上的A无穷结构对其PBW形变进行分类。

连通分次代数的PBW形变理论已被广泛研究。量子群的负部分是一类重要的非交换且不满足K2性质的连通分次代数。量子对称对理论中的量子对称对余理想子代数是量子群负部分的PBW形变。本项目的主要研究内容是量子群负部分的PBW形变（简称量子群的PBW形变），拟利用量子群负部分的Yoneda代数上的A无穷结构给出量子群PBW形变的分类。在研究过程中，我们计算了某些低秩的量子群负部分的Yoneda代数上的A无穷结构，但量子群PBW形变的分类问题尚需进一步探究。为了研究量子群及其PBW形变之间的关系，我们讨论了量子群的一类重要PBW形变（量子对称对余理想子代数）的类量子舒伯特胞腔代数。我们的研究结果表明：量子群及其PBW形变不仅有一些类似的性质，而且有很多不同的性质。这使得我们对量子群的PBW形变理论有了进一步明确的认识。