量子群PBW形变的代数性质和实现

In recent years, the research on coideal subalgebras of quantum groups is a hot topic since they are important in the development of quantum symmetric pairs. On the other hand, PBW-deformation theory of graded algebra has been extensively researched. This project focuses on a class of quantum algebras which are both coideal subalgebras of quantum groups and PBW-deformations of their negative parts. Similar as quantum groups, those algebras also have braid group actions that allow the definition of root vectors and the construction of PBW bases. However, they can not be realized by successively adding root vectors in an iterated Ore extension. In addition, the automorphism groups of the positive parts of quantum groups are explicitly described. This project will study the above PBW-deformations of quantum groups from three aspects. Using braid group actions and root vectors, we firstly investigate their subalgebras which are some analogues of quantum Schubert cell algebras. Then we plan to realize them by introducing some new extension ways. Finally, we try to characterize their automorphism groups after analyzing the relationship between them and the positive parts of quantum groups.

量子群的余理想子代数是近年来的一个研究热点，它对发展量子对称对理论具有重要意义。另一方面，分次代数的PBW形变理论已被广泛研究。本项目研究一类既是量子群的余理想子代数又是其负部分PBW形变的量子代数。类似于量子群，该类代数也有可以用于定义根向量和构造PBW基的辫子群作用。但不同的是，它们不能通过在迭代Ore扩张中依次增加根向量来实现。此外，量子群负部分的自同构群已经有了明确的描述。本项目拟从三个方面对量子群的上述PBW形变进行研究。首先，利用辫子群作用和根向量，研究它们的类似于量子Schubert胞腔代数的子代数；其次，拟引入新的代数扩张方式来讨论它们的实现问题；最后，分析它们与量子群负部分的关系，尝试刻画其自同构群。

量子群是一类重要的非交换且非余交换的Hopf代数。它的余理想子代数是近年来的一个研究热点，对发展量子对称对理论具有重要意义。连通分次代数的PBW形变被广泛研究。量子群的负部分是一类带有混合齐次关系式的非交换的连通分次代数。本项目的主要研究对象是一类既是量子群的余理想子代数又是其负部分的PBW形变的非交换量子代数，即所谓的量子群的PBW形变。前期的研究表明：量子群与其上述PBW形变在辫子群作用、PBW基等方面具有很多类似的性质。本项目主要关注量子群的PBW形变在代数性质和实现等方面表现出来的不同于量子群情形的现象和规律。在代数性质方面，我们研究了量子群的PBW形变的子对象，引入了类量子舒伯特胞腔子代数，给出了其不同于量子舒伯特胞腔代数的代数性质，特别地，发现它们不能通过在迭代奥扩张中增加根向量的方式实现。在实现方面，我们在计算其根向量之间的交换关系和借助双重奥扩张思想的基础上引入了多重奥扩张，并利用在迭代的多重奥扩张中增加根向量的方式实现了A型、D4型等单边型量子群的PBW形变。本项目的第一个研究结果有助于丰富量子群的余理想子代数理论，对于探索和研究量子群及其PBW形变在代数结构上的异同点具有理论意义，为继续探索它们在代数表示理论方面的异同做了一定的铺垫。本项目的第二个研究结果不仅实现了量子群的PBW形变，而且给出了构造和实现非交换量子代数的新方式---多重奥扩张。本项目的研究对于丰富和发展量子群理论以及连通分次代数的PBW形变理论具有双重理论意义。