分次Calabi-Yau代数的有限群作用及其不变子代数

Calabi-Yau algebra firstly appeared at the study of the homological mirror symmetry on a Calabi-Yau manifold. It seeks its extensive applications in noncommutative algebraic geometry and algebra representation theory. Nowadays, it is one of the major research objects in noncommutative algebra. We mainly study the finite group actions on connected graded Calabi-Yau algebras and their invariant subalgebras. According to the regularity of the invariant subalgebras, the project is divided into three topics: the category of Cohen-Macaulay modules over Gorenstein invariant subalgebras and noncommutative Auslander Theorem, the structure of the primitive ideals of the PBW deformations of regular invariant subalgebras and skew group algebras, the automorphism groups of the PBW deformations of Calabi-Yau algebras with lower global dimensions and their invariant subalgebras. The aim of the project is to give equivalent conditions for the Auslander Theorem, then try to find certain algebras to represent the category of Cohen-Macaulay modules, and compute the automorphism groups and study the structures of the primitive ideals of the PBW deformations of CY algebras with lower dimensions. The research of the project will provide theoretical supports on the study of the Gorenstein singularities over noncommutative orbit spaces and the structures and representations of their noncommutative deformations.

Calabi-Yau(简记为CY)代数源于对CY流形上同调镜像对称的研究，而后在非交换代数几何以及代数表示理论中得到了广泛应用，目前是非交换代数领域中重要研究对象之一。本项目主要研究连通分次CY代数的有限群作用及其不变子代数，依据不变子代数的正则性与否，分三个方面开展研究：Gorenstein不变子代数的Cohen-Macaulay模范畴以及非交换Auslander定理；正则不变子代数以及斜群代数的PBW形变代数的本原理想的结构；整体维数较低的CY代数及其不变子代数的PBW形变代数的自同构群。主要目标是在CY代数上给出非交换Auslander定理成立的等价条件、进而寻求适当的代数来刻画Cohen-Macaulay模范畴，并计算低维CY代数的形变代数的自同构群及探求斜群代数的形变代数的本原理想的结构，为研究非交换轨道空间的Gorenstein奇点及其非交换形变的结构与表示提供理论依据。

Calabi-Yau(简记为CY)代数源于CY流形上的同调镜像对称的研究，此后在非交换代数几何、代数表示理论、数学物理等领域得到广泛应用。目前在非交换射影代数几何领域，有限群在非交换射影空间作用下的轨道空间的奇点是该领域的核心研究对象。相应地，有限群（或Hopf代数）在CY代数上作用的不变子代数的结构及其奇点范畴是非交换代数领域的核心研究内容之一。本项目围绕有限群作用下不变子代数的结构与表示主要开展了以下几个方面的研究：（1）有限群在分次CY代数上作用的不变子代数的Gorenstein奇点的性质及其表示的研究;（2）应用微分分次代数方法研究分次CY代数及其形变代数；（3）CY代数诱导的三角范畴的构造；（4）张量范畴以及Turaev群在非交换代数中的应用。. 本项目引入了Hopf代数作用的新不变量—关联度，利用该不变量我们证明了非交换Auslander定理，该定理建立了不变子代数与斜群代数之间的密切联系。通过计算群作用的关联度，我们证明了几类重要代数（包括包络代数、down-up代数、PI代数、量子多项式代数等）上的有限群作用满足非交换Auslander定理的条件。为了分析不变子代数的结构，本项目引入了研究群作用的新的工具—根理想。利用根理想的局部上同调，我们给出了不变子代数是Cohen-Macaulay代数的条件。特别地，我们给出了整体维数是2的诺特半局部代数的不变子代数的奇点的刻画。. 在微分分次代数方法方面，给出了Koszul CY微分分次代数的构造方法及其导出Picard群的计算方法，并详细计算了几类重要微分分次代数的导出Picard群。此外，给出了两类三角范畴粘合的构造，以及利用张量范畴分析了Turaev群余代数的结构，给出了一些Yang-Baxter类型方程的解。. 本项目建立的非交换Auslander定理一方面为在非交射影空间中建立非交换McKay对应的提供了重要工具，另一方面也为非交换射影空间中Gorenstein迹形提供了非交换奇点解消的一条途径。本项目引入了群作用的关联度以及根理想为研究不变量理论以及奇点理论提供了新的工具。