常微分方程定性理论中的几个具体问题

The present research proposal mainly consists of two parts: one is the continuation of previous research, where we have already paid much attention to some classical problems of ordinary differential equations, such as normal form theory, center-focus problem, integrability problem, limit cycle problems. We have obtained some interesting results there and also have observed some new problems or questions. Thus in this project, we shall continue our research in this direction. On the other hand, we shall also extend our research to some new phenomenon and new questions. More precisely, we shall focus on some other systems such as piece-wise linear systems and so on.

本申请项目主要包括两方面的内容： 一是继续前一科研项目中业已开展的关于常微分方程定性理论的讨论。在那里，我们主要围绕着几个经典问题比如正则型理论, 多项式系统的中心焦点问题， 可积性问题，极限环存在与分布问题进行了深入和富有成果的讨论， 取得了若干有意义的结果。但同时随着研究的深入，很自然地挖掘和发现了一些更基本和更深刻的问题， 所以本项目的第二方面则是围绕着这些新发现、新问题或者新想法展开讨论。 具体来说， 这将涉及到除了上述问题之外的，比如分片多项式系统等问题。 关于这方面的研究，近年来引起较多的关注，但我们在这方面曾有一定的研究积累，并且有些独到的想法。

本项目当初立项申请时，主要包括两方面的内容： 一是继续前一科研项目中业已开展的关于常微分方程定性理论的讨论。 二是围绕着研究过程中发现和挖掘的新问题进行更基本和更深刻的探索。具体来说，这将涉及到除了上一期项目的经典问题之外，将涉及到比如分片多项式系统等问.题。 这方面我们取得的主要结果可以概括为存在平面线性系统，可以产生任意n个极限环和符合任意分布的系统。 另一个主要方面的结果是给出了Lienard系统超椭圆极限环的系统结论。