奇点范畴与丛范畴

In the past decade the study on singularities categories is a hot topic in mathematical physics, algebraic geometry and representation theory. This project aims at providing description of the singularity categories of some special noetherian rings, such as 3-dimensional quotient singularities, rational surface singularities and general finite-dimensional algebras. The method that we will adopt is to study non-commutative resolutions of singularities and the corresponding relative singularity category and to use the tool of differential graded algebras. The most important part of this project is to describe the singularity category of 3d quotient singularities, more precisely, we will discuss its relation with cluster categories of quivers with potential. We will also study singularity categories of rational surface singularities. We conjecture that they admit additive generators and their Hom-finiteness is equivalent to the Gorensteinness of the singularities. Finally, for finite-dimensional algebras, we plan to formulate the right concept of non-commutative resolution through concrete examples.

对奇点范畴的研究是近年来数学物理、代数几何和表示论中的热门课题。本项目计划对某些特殊的Noether环（如三维商奇点、有理曲面奇点以及一般有限维代数）的奇点范畴进行刻划和研究。我们拟采取的方法是研究非交换奇点消解以及相应的相对奇点范畴，并利用微分分次代数作为工具。本项目的重点是对三维商奇点的奇点范畴的刻划，我们将讨论其与带势箭图的丛范畴之间的关系。其次是对有理曲面奇点的奇点范畴性质的研究，我们猜测它有加性生成元，并且它的态射有限性等价于奇点的Gorenstein性。最后，对有限维代数，我们计划通过例子来寻找合适的非交换奇点消解的概念。

对奇点的研究是数学很多分支（如数学物理、代数几何、交换代数等）中的重要课题。受交换代数的启发，Buchweitz于1987年提出了Noether环的奇点范畴的概念，并由Orlov于2004年推广到一般（交换）概型上。这是一个三角范畴，它承载了概型奇异性的同调信息。由于在同调镜像猜想中有着重要应用，加之其本身为一重要同调对象，奇点范畴的研究是目前数学物理、代数几何以及表示论中的热门课题。..我们关心的是用代数方法对Noether环的奇点范畴进行刻划。一般来说，完全的刻划难以实现，因此我们致力于将奇点范畴刻划为与某种更简单结构有关的三角范畴，如带势箭图的丛范畴。本项目最重要的进展是给出了Gorenstein三维商奇点的奇点范畴的刻划，具体来说，证明了Gorenstein三维商奇点的奇点范畴三角等价于某带势箭图的小丛范畴。这一结果将之前de Voelcsey, Van den Bergh和Amiot, Iyama, Reiten对Gorenstein三维孤立商奇点的刻划推广到了一般情形。其中的关键步骤是研究奇点范畴与非交换奇点解消所对应的相对奇点范畴之间的关系，以及对相对奇点范畴的微分分次代数的构造。这两项研究适用于一般情况，作为它们的另两个应用，我们对两个已知结论给出了新的证明：有理曲面奇点的奇点范畴一定有加性生成元，以及根方零代数的奇点范畴三角等价于Leavitt路代数的完备导出范畴。