Groebner-Shirshov基理论及其应用

本项目主要构造以下自由代数并建立相应的Groebner-Shirshov基理论：交换环上的李代数，Matabelian李代数,具有两个乘法的代数（特别地，Poisson代数，L-代数）, 多项式代数与若干类型的代数的张量积代数，范畴,Operads,Super代数.尝试应用已经建立的和将建立的Groebner-Shirshov基方法和组合方法给出相关代数（群）的嵌入定理，PBW定理，Gelfand-Kirillov维数, Dehn function, space function，growth function和Hilbert 序列. 给出若干类型Coxeter群和代数的normal form.

本项目是代数学的经典理论的拓展。本项目的研究表明Groebner-Shirshov基方法是解决以下经典问题的一个非常强有力的工具，如：规范型(normal form)、字问题、共轭问题、改写系统、代数嵌入单代数及二元生成代数的问题、群及代数的扩张问题、PBW型定理、自动机结构、代数增长问题、Dehn函数、同调、希尔伯特序列问题、计算机代数相关的问题等。本项目建立了如下代数的Gröbner-Shirshov基理论：交换代数上的李代数、metabelian李代数、半环代数和L-代数。作为应用，我们得到：Cohn猜想（1962）成立；解决了公开问题：是否每个dendriform代数可嵌入它的泛包络Rota-Baxter代数；给出了自由李代数的线性基底深刻描述；尝试给出了Poincare-Birkhoff-Witt型定理的统一的证明，等等。泛代数上的Groebner-Shirshov基方法在国际上非常活跃，俄罗斯、法国、美国、英国、加拿大等数学家在本课题做了许多工作。 本课题在一定意义下填补了国内空白。