Poisson代数和n-李代数的Groebner-Shirshov基理论及其应用

Poisson algebra appeared in the Hamiltonian mechanics. It is the research center of quantum group and plays an important role in many branches of mathematics about quantum algebra. The concept of n-Lie algebra was introduced by V.T. Filippov in 1985. It is not only a natural generalization of the classical definition of Lie algebra, but also associated with Nambu mechanics and has its own geometric and physical background. Word problems, embedding problems and complexity problems of algebras are hot topics in the current. Groebner-Shirshov bases theory is a powerful tool for those problems mentioned above. This project is mainly to establish Groebner-Shirshov bases theories for Poisson algebras and n-Lie algebras. By using Groebner-Shirshov bases theories for Poisson algebras and n-Lie algebras, we try to give the classical embedding theorems for Poisson algebras and n-Lie algebras, solve the word problem for n-Lie algebras with one relation and find the complexity of some Poisson algebras, such as Gelfand-Kirillov dimensions, Dehn functions and growth functions.

Poisson代数出现于哈密顿力学，是量子群研究的中心，在关于量子代数的很多数学分支中起着重要的作用。n-李代数是数学家V.T. Filippov于1985年引入的，它不仅是经典的李代数定义的自然推广，而且与Nambu力学有关，具有自己的几何和物理背景。研究代数系统的字问题，嵌入问题和复杂度是当前的热门课题。Groebner-Shirshov基理论是研究上述问题的强有力的工具。本项目主要构造自由Poisson代数和自由n-李代数并建立相应代数的Groebner-Shirshov基理论。尝试应用即将建立的Groebner-Shirshov基理论给出Poisson代数和n-李代数的经典嵌入定理，解决一关系n-李代数的字问题，找出某些Poisson代数的复杂度，如：Gelfand-Kirillov维数，Dehn函数和增长函数。

（1）本团队利用结合(李)代数的钻石结合引理证明了任何可列生成的结合(李)代数都能嵌入一个二元生成的单结合(李)代数。此结果发表在代数学国际顶尖杂志《Communications in Algebra》。.（2）本团队找到了Drinfeld–Kohno李代数的 Groebner–Shirshov 基并证明了作为Z模是自由的，还给出了的Z-线性基底。此结果发表在俄罗斯著名杂志《Siberian Mathematical Journal》。.（3）本团队找到了自由pre-Lie代数的Hall-Shirshov型基， 证明了著名的Segal基也是一种Hall-Shirshov型基， 给出了pre-Lie代数的一个非结合的Groebner-Shirshov基，使得这组基的irreduced word就是自由pre-Lie代数的一个规范型。另外，我们还在自由pre-Lie代数的该组规范型的基础上建立了pre-Lie代数钻石结合引理。此结果发表在《Algebra colloquium》。.（4）本团队找到了自由莱布尼兹代数的非结合Groebner–Shirshov 基从而得到了自由莱布尼兹代数一个线性基底。证明了任何非结合代数都能嵌入一个单非结合代数，任何可列生成的非结合代数都能嵌入一个二元生成的单非结合代数。此结果发表在《Southeast Asian Bulletin of Mathematics》。. ( 5）本团队证明了任何可列生成的结合微分代数都能嵌入一个二元生成的单结合微分代数。此结果发表在《Algebra colloquium》。.（6）本团队证明了一个定义关系的左交换代数具有可解的字问题并得到了左交换代数的“自由定理”。此结果被《华南师范大学学报》接收。.（7）主持人解决了L-代数和反交换代数的嵌入问题，相应的结果已经被《Algebra colloquium》接收，待发表。