黎曼流形上几何与拓扑的若干研究

Developing the modern methods and techniques in global Riemannian geometry and geometric analysis, we will investigate the geometric, topological and differentiable structures of Riemannian manifolds and submanifolds, and the intrinsic links among them. We will prove rigidity theorems，sphere theorems and finiteness theorems for Riemannian manifolds and submanifolds. We will study geometric inequalities on manifolds, and the geometrical and topological classifications of manifolds under certain conditions. We will obtain convergence theorems for the Ricci flow, the mean curvature flow in higher codimensions and the Willmore flow, etc., and their applications in the curvature and topology as well. We will investigate the Yau conjecture on the pointwise pinching problem for Riemannian manifolds and several open problems on convergence results for geometric curvature flows which were proposed by our research group. We will study the volume gap for submanifolds with parallel mean curvature in space forms, and sphere theorems for submanifolds in Euclidean spaces under the total mean curvatue pinching condition. We will investigate the second scalar curvature pinching problem for hypersurfaces with constant mean curvature in spheres, and promote the study of the generalized Chern conjecture. We will study estimates of eigenvalues and heat kernels on Riemannian manifolds and submanifolds, and their geometric and topological applications. We will improve the results on the Yau conjecture on the first eigenvalue for embedded minimal hypersurfaces in a sphere and the Polya conjecture on higher eigenvalues. This project belongs to frontier research fields in the core of mathematics, and will have many important applications.

发展整体黎曼几何、几何分析的研究方法与技巧,研究黎曼流形与黎曼子流形的几何结构、拓扑结构和微分结构及内在联系,证明黎曼流形及子流形的刚性定理、球面定理和有限性定理；证明流形上几何不等式，研究适当条件下流形的几何与拓扑分类；研究Ricci流、高余维平均曲率流以及Willmore流等几何曲率流的收敛性定理及其在曲率与拓扑中的应用，推进关于黎曼流形逐点拼挤问题的丘成桐猜想和本课题组提出的关于几何流收敛性的若干公开问题的研究；研究空间形式中平行平均曲率子流形的体积空隙问题，进而研究全平均曲率拼挤条件下欧氏空间中子流形的球面定理；研究球面中常平均曲率超曲面数量曲率的第二拼挤问题，推进广义陈省身猜想的研究；研究黎曼流形及子流形上特征值估计和热核估计及其几何与拓扑应用，推进球面中嵌入极小超曲面第一特征值的丘成桐猜想以及关于高阶特征值的Polya猜想的研究。本课题属核心数学的前沿领域,有许多重要应用。

本项目研究了黎曼流形与黎曼子流形的几何分析、整体几何和曲率与拓扑。在最优数量曲率拼挤条件下, 证明了双曲空间中维数大于5的任意余维平均曲率流的收敛性定理和完备子流形的微分球面定理。在优化数量曲率拼挤条件下，证明了高维球面中任意余维平均曲率流的收敛性定理和完备子流形的微分球面定理。在优化曲率拼挤条件下，证明了复射影空间中任意余维平均曲率流的收敛性定理和紧致子流形的微分球面定理。证明了第一特征值拼挤条件下半球面中紧致超曲面拟等距于标准球面，且微分同胚于标准球面。获得了一般黎曼流形中一类紧致带边子流形上Schrodinger算子的特征值个数的上界估计。证明了单位球面中n维紧致极小超曲面的第二拼挤区间长度至少为n/18。证明了具有多项式体积增长的n维完备自收缩超曲面的第二拼挤区间长度至少为1/18。证明了单位球面中n维小常平均曲率超曲面的拼挤区间长度为n/18的数量曲率第二拼挤定理。获得了积分型拼挤条件下欧氏空间中完备λ超曲面的刚性定理。证明了积分型拼挤条件下欧氏空间中具有平行Gauss平均曲率的子流形的空隙定理。证明了拼挤流形中紧致平行平均曲率子流形的几何刚性定理。在关于数量曲率和截面曲率的拼挤条件下，证明了黎曼流形的分类定理和微分球面定理。在优化截面曲率拼挤条件下，证明了空间形式中紧致子流形的微分球面定里。获得了欧氏空间中紧致超曲面无迹Ricci曲率积分的拓扑下界和Betti数消没定理。在《J. Funct. Anal.》(2篇)、《Trans. Amer. Math. Soc.》、《J. Geom. Anal.》、《Proc. Amer. Math. Soc.》、《Pacific J. Math.》(2篇) 、《Internat. J. Math.》、《Manuscripta Math.》、《Ann. Glob. Anal. Geom.》、《Pure Appl. Math. Q.》(2篇)、《Tohoku Math. J》、《Comptes Rendus Mathematique》、《Sci. China Math.》、《Chin. Ann. Math. Ser. B》等国内外重要刊物上发表录用了20篇高质量论文。获得高等学校科学研究优秀成果奖(自然科学奖二等奖)1项、世界华人数学家联盟最佳论文奖(若琳奖)2项。指导微分几何方向博士学位论文3篇、硕士学位论文5篇。