塑性动力学问题中非线性方程组数值解法研究

Based on the analysis of the characteristics of the large sparse nonlinear systems, which are from the nonlinear problems in plastic dynamics, we are aim to make research of the construction of efficient multi-step iterative algorithms for solving this kind of large sparse nonlinear systems. We focus on the multi-step iterative algorithms of Newton methods and its deformation, higher order iterative method effectively combining with linear iterative methods (such as Krylov subspace methods, the HSS method, etc.). Based on the different characteristics of the coefficient matrix of linear systems, by selecting the appropriate preconditioning method and constructing the corresponding preconditioning matrix, we propose efficient algorithms. In these algorithms, different preconditioning techniques based on multi-step iterative methods are applied. Under Lipschitz condition、Holder condition and other conditions, we analysis local and semilocal convergence of the multi-step iterative methods and establish local and semilocal convergence theorems. Also we try to propose global algorithms and establish global convergence theorems for large sparse nonlinear systems. On the basis of the theory and algorithms, we try to make parallel computing of multi-step iterative algorithm, and carry out cross-disciplinary applied research. Finally, we build the link between the research results of large sparse nonlinear systems with the practical engineering parallel computing and application.

针对塑性动力学中非线性问题，分析方程离散后得到大规模稀疏非线性方程组的特性，探索研究求解这类大规模稀疏非线性方程组高效多步迭代算法的构造，研究Newton法及变形、高阶迭代法与线性方法（如Krylov子空间法、HSS方法等）相结合的多步方法。根据解这类非线性大规模稀疏非线性方程所产生系数矩阵的特性不同，通过选取适当的预处理方法，构造相应的预处理矩阵，提出多步迭代方法与各种预处理技术相结合的高效算法。研究所构造的多步迭代方法在导数或差商Lipschitz连续、Holder连续等条件下，给出其局部收敛性和半局部收敛性分析，建立收敛性定理。同时，开展全局算法构造及收敛性定理研究。在理论和算法研究的基础上，进行多步迭代算法的并行计算，开展交叉性学科的应用研究，将解决大规模稀疏非线性方程组多步迭代算法的本质特征结果与实际工程并行计算、应用之间脱节的问题，为理论研究、并行计算和应用建立一种本质的联系。

针对塑性动力学中非线性问题，运用差分方法或有限元方法离散后得到的大规模稀疏非线性方程组，研究了求解这类大规模稀疏非线性方程组的高效算法和收敛性分析，并把所得高效算法和收敛性分析结果应用到其他工程领域中的非线性方程组求解和计算。主要进行了以下几方面的研究。.1、分析了塑性动力学问题等相关方程离散后得到大规模稀疏非线性方程组的特性，探索研究了求解这类大规模稀疏非线性方程组的高效多步迭代算法的构造。首先着眼于Newton法在求解这类大规模稀疏非线性方程组的应用。根据Newton法求解这类非线性方程组时所产生的Jacobi矩阵的特征，对Newton方程选取不同线性迭代算法，提出了求解大型非线性方程组的高效算法构造。.2、对求解这类大规模非线性方程组的迭代算法和预处理技术进行研究。针对在求解大规模稀疏非线性方程组时产生的病态和坏条件的线性子问题，综合考虑了预处理技术，针对所产生方程组的系数矩阵的特性不同，根据各自矩阵的特性采取适当的预处理方法，如矩阵分裂型和不完全分解型预条件等，构造了相应预处理矩阵，并选择适当迭代算法进行求解，使得具体求解大规模非线性方程组的迭代算法与各种预处理技术相结合形成不同的算法。.3、针对求解这类大规模稀疏非线性方程组研究提出的不精确Newton法，高阶变形迭代方法，提出了与线性方法结合新算法，在导数或差商Lipschitz连续和Holder连续等条件下，研究了给出这些迭代方法的局部收敛性和半局部收敛性。并且讨论这些方法的局部收敛半径和半局部收敛半径或对这些半径进行估计。.4、在理论和算法研究的基础上，针对塑性动力学问题等相关方程离散后得到大规模稀疏非线性方程组的特性，进行具体的并行算法设计和并行计算，为理论研究、并行计算和应用建立一种本质的联系。.本项目取得了系列研究成果，发表了标注资助名称和编号SCI检索学术论文17篇，培养博士生9名，项目组一名成员升为副教授，申请发明专利1件，获得软件著作权证书5项。