不可压缩流最优控制问题的高效数值算法研究

In this project, we investigate efficient numerical methods of optimal control problem for incompressible flow. On one hand, we develop several high efficient algorithms with good stability, large time step size and strong flexibility properties and provide the stability analysis and error estimates for these new algorithms by using stabilized finite element method, two level method and variational discretization method. On the other hand, by using defect correction technique, decoupling technique and adaptive time stepping technique, robust and powerful iterative algorithms and solver are designed to reduce the computational cost for solving the discrete system. Finally, we design the parallel programs with dissipative structures in order to achieve numerical simulation. Moreover, the effectiveness of the given method is demonstrated by compared with some previous schemes. We will give the numerical results of the optimal control problem for incompressible flow with large Rayleigh number to study the properties of the solutions. Then mechanism and morphology evolution of the optimal control problem for incompressible flow can be analyzed, and the essence can be understood deeply. Furthermore, we provide new research approaches to develop the nonlinear scientific research and apply to the computational fluid dynamics in the engineering technology.

本项目主要研究不可压缩流最优控制问题的高效数值方法及其理论分析。一方面，基于稳定化有限元方法，两水平方法，变分离散方法等，提出若干稳定性好、大时间步长计算、适应性强的高效算法，并给出相应算法的稳定性分析、收敛性分析和最优误差估计；另一方面，结合亏量校正技巧、解耦技巧以及时间步长自适应技术等，设计出强健的非线性迭代格式和求解器，降低求解离散系统的复杂度，使其具有保耗散结构的性质，研制友好的计算程序，实现数值模拟，并通过与已有的一些数值格式比较，说明新方法的高效性，进而对大雷诺数条件下不可压缩流体最优控制问题进行模拟，研究解的性态。从而得以分析该问题发展的机理及其形态演化过程，能够更加深刻地理解它的本质，为非线性科学的研究和发展以及计算流体力学在工程技术中的应用提供新的研究途径。

不可压缩流最优控制问题数值解在海洋工程、天气预报、水利水电、地质勘探和航空航天等诸多领域同样具有重要物理意义，近年来也受到了广泛关注。因此研究不可压缩流体控制问题的数值求解方法具有重要的理论意义和实际价值。. 针对不可压缩流最优控制问题，我们系统地研究数值逼近中的高性能数值计算方法。采用的策略包括压力投影方法、两水平技巧、算子分裂技术等。空间方向分别采用低次等阶协调/非协调混合有限元离散，由于控制变量的光滑性较差，采用变分离散技巧离散来提高它的精度，从而得到最优控制问题的混合有限元逼近格式；离散系统采用分裂或者解耦技巧降低求解离散方程组的复杂度。为提高数值计算的效率和简化计算的复杂性，结合两水平方法和亏量校正技巧，设计出稳定性好、计算效率高的数值算法，给出算法的稳定性分析、收敛性分析和最优误差估计，从而在高性能计算机上实现数值模拟。进而得以分析湍流发展的机理及其形态演化过程，加深对湍流本质的理解，为数值模拟湍流提供了可靠的理论依据和算法工具，并将为非线性科学的研究和发展以及计算流体力学在工程技术中的应用提供新的研究途径。项目组成员进行广泛的学术交流，共参加学术会议10次，并多次作学术报告；项目执行期间一共培养硕士2名，指导本科生4名。总之，研究工作按照申请计划书顺利进行，并根据实际情况作了适当调整，基本完成各项任务。