金融保险中若干带有时间不一致性偏好的最优决策问题

Since the preference of a decision-maker is changing all the time in real world, it is unreasonable to analyze and resolve optimal decision-making problems in finance and insurance by fixing his/her preference. Once considering the time-inconsistent preference, the classical dynamic programing principle does not hold, which leads to the so-called time-inconsistent optimal control problem. The project investigates some decision-making problems with time-inconsistent preferences in finance and insurance by using the method of game theory. The main problems considered in the project include: 1. Optimal dividend problem with a general discount function. We will consider the ruin risk of the insurer, derive the equilibrium HJB equation and verification theorem in the jump-diffusion risk model and lévy risk model, and obtain the analytical solution or numerical solution of optimal strategies for some specific discount functions. 2. Optimal investment problem in Merton's model with regime-switching. Under the assumption that the decision-maker's preference depends on the state of the environment variable, we obtain the system of equilibrium HJB equations and discuss the existence and uniqueness of the solution and the numerical solution of the system. 3.Using the multi-person differential game and martingale method to resolve the optimal consumption-investment problem with stochastic parameters. This problem boils down to studying a new type of backward stochastic integral equation.

由于现实中决策者的偏好是不断变化的，因此，采用固定的偏好来分析和解决金融和保险中的最优决策问题是不恰当的。当考虑时间不一致性偏好时，由于不满足经典的动态规划准则，这导致了所谓的时间不一致的最优控制问题。本项目将采用博弈论的方法来研究金融和保险中带有时间不一致性偏好的最优决策问题。研究内容包括：1.含有一般贴现函数的最优分红问题，考虑保险人的破产风险，在跳—扩散和lévy风险模型下得到相应的均衡HJB方程及验证定理，并在具体的贴现函数下得到最优策略的解析解或数值解；2. 在含有Regime-Switching的Merton模型下考虑最优投资问题，假设决策者的偏好依赖于当前环境变量的状态，得到均衡HJB方程（组）并讨论该方程（组）的解的存在唯一性和数值解；3. 采用多人微分博弈和鞅方法来解决幂效用和指数效用函数下的含有随机参数的最优消费—投资问题，该问题将归结为研究一类新的倒向随机积分方程。

本项目围绕金融和保险中的时间不一致的最优策略，主要研究了下面几个问题：.（一）我们考虑个人的最优消费—投资问题，并试图得到问题的时间一致均衡策略。首先，我们考虑了一个生命周期模型下的最优消费—休闲—投资问题，目标是最大化期望贴现效用函数。在该问题中，贴现函数是非指数型的，所以该问题是时间不一致的。我们得到了该问题的扩展的HJB方程，在一般的贴现函数和效用函数下证明了验证定理，并得到了对数效用函数和指数贴现下的显示解。其次，考虑到金融市场的参数以及决策者的偏好均依赖于外在的环境因素，我们假设投资人的贴现率与风险厌恶都依赖于经济环境的状态，研究最优消费—投资问题。对于老练的投资者，我们给出了均衡HJB方程以及相应的验证性定理，在幂、对数和指数效用函数下，通过研究几类微分方程组的解的存在唯一性，得到了时间一致性均衡策略的显示解。.（二）考虑到保险人可以通过控制卖出的保单数量来控制自己的风险或债务，本项目在传统的最优分红与投资问题中考虑了保险人的债务比，主要研究了两个问题。首先，考虑扩散风险模型，在幂效用函数和对数效用函数的情形下，以最大化终端财富效用为目标，求得最优的债务比、分红以及投资策略。其次，我们在含有马尔可夫机制转换的扩散模型下研究了最优债务比以及分红策略。在对数与幂效用函数下，我们利用上—下解的方法，讨论了一类微分方程组的解的存在唯一性，并利用该解表示了最优策略与值函数。 .（三）由于实际中许多投资和风险管理问题的时间周期较长，为了刻画决策过程中金融市场的记忆效应以及其他轨道依赖效应，本项目考虑了系数是关于马氏链与布朗运动共同生成的流适应的随机过程。在该模型下，我们研究了均值—方差投资组合与资产负债管理问题的预先承诺最优解。利用BMO-鞅我们研究了一类带跳的倒向随机微分Riccati方程。并利用该方程的解刻画了最优投资策略以及有效前沿。最后我们还给出了相应的最优资本结构和相互基金定理。