高斯过程及相关随机场之极值的渐近性分析

In this project, we will study the limit properties of extremes of Gaussian processes and related random fields. More precisely, we will study the following two problems. Firstly, for enriching the theory of extreme value theory, we study the extremes limit theorems for strongly dependent Gaussian processes and fields. Secondly, since in applications, data are only available over a discrete set of time-points, we investigate the asymptotic relation between the extremes of the Gaussian processes and related random fields and the extremes of these processes sampled at discrete time points. Our study not only can enrich the theory of extreme value theory but also has potential applications in the fields of finance and insurance. Meanwhile，it also can help us to study the ruin model and queueing model in Gaussian fileds.

本课题研究高斯过程及相关随机场之极值的极限性质，主要体现在如下两个方面：.(1)基于完善极值理论这一学科的理论体系，我们将系统地研究强相依高斯过程及相关随机场之极值的极限定理；(2)考虑到数据的观测只能在离散的时间点上获得，我们研究高斯过程及相关随机场之极值与其在相应离散化下极值的共同极限行为. 本课题的研究不仅能够丰富极值理论的理论体系，而且能为金融时间序列建模，金融保险等领域内的相关问题研究提供理论基础，同时也有助于我们进一步研究高斯破产模型、高斯排队模型等.

在极值统计分析建模中，高斯过程之极值的极限分布问题一直都扮演中重要的角色，如在统计中，许多置信区间和置信带的构造都是基于高斯过程之极值的极限定理进行的。因此，对于高斯过程之极值的极限定理的研究是一个古老而重要的课题。根据项目计划书，本课题研究了与高斯过程之极值的极限分布相关的两个方面的问题。我们完成了项目计划书提出的研究任务，所得结果将相应的存在的结果做了较大的推广。.首先，我们研究了几类相依高斯过程及相关随机场之极值的极限定理. 在实际应用中，由于数据丢失时有发生，或者受样本采集的周期性的影响，我们获得的样本量常常是随机的。受这个问题启发，我主要考虑了高斯过程及相关随机场在随机区间上极值的极限分布问题。对于高斯过程情形，我们考虑了两种情况，即随机区间与高斯过程独立的情形以及对随机区间与高斯过程之间不施加相依关系。在这两种情形下，我们分别获得了随机区间之极值的极限分布。我们也将相应的结果推广到了卡过程情形。除此之外，我还考虑了一类基于分数布朗运动的Shepp统计量之极值的极限分布问题。. 其次，我们研究了高斯过程之极值与其离散化后之极值的渐近关系。在实际应用中，我们获得样本常常都是都是高维的，离散状态的，因此，关于高斯过程之极值的经典结论不能直接使用。我们首先需要研究连续时间之极值与相依离散化后之极值的渐近关系，或者需要搞清楚离散状态的极值在多大程度上能代替连续时间极值。我们首先考虑了多维情形下，不同离散化水平对其极限分布的影响，并获得相应的极限定理。另一方面，我们还考虑了部分和对连续极值与离散极值关系的影响。.最后，我也考虑了一些相关问题的研究。我们获得了一类加权高斯过程的有限时间破产概率的渐近估计以及一般的带保险风险和金融风险的无限时破产概率的精确渐近。我们获得了一类高斯随机游动之极值的极限性质以及一类高斯过程上穿点过程的极限分布等。