几类高斯随机场之极值的研究及应用

In this project, we will study the limit properties of extremes of several types of Gaussian random fields and their applications. More precisely, we will study the following three problems..Firstly, since Gaussian random fields have been applied to image analysis, atmospheric sciences, geo-statistics, hydrology, agriculture, as well as to other applied fields and extremes and their limit properties are particularly important in these applications, we study the limit theorems of two type of Gaussian random fields..Secondly, with increased demand of statistical inference, risk theory and queuing theory, we deal with the tail asymptotics and limit theorems of extremes of gamma-reflected processes..Finally, since the functional limit theorem of extremes for Gaussian processes have mostly been used for the statistical modeling of spatial data, we study the functional limit properties for extremes for strongly dependent, cyclo-stationary, locally stationary and non-stationary Gaussian processes..In addtion, we will do some empirical research on the extremes weather of some local areas of China..Our study not only can enrich the theory of extreme value theory but also has potential applications in the fields of finance and insurance.

本课题主要研究几类高斯随机场之极值的极限性质及其应用，主要体现在如下三个方面：.(1) 由于高斯随机场在图像分析，气象科学，应用统计,水文科学，农业科学等应用领域扮演着非常重要的作用，而在这些领域，我们常常需要关注相关极值的极限性质，因此我们首先将系统地研究两类高斯随机场之极值的极限分布问题；.(2) 基于gamma反射过程在统计、风险理论以及排队论中的重要应用, 我们也将系统地研究一类gamma反射过程之极值的尾渐近以及极限定理；.(3) 考虑到高斯泛函极值定理在空间数据建模分析中扮演着重要角色， 我们还将系统地研究强相依、周期平稳、局部平稳以及更一般的非平稳高斯过程之极值的泛函极限定理；.除此之外，利用本课题所得结论，我还将对我国局部地区的极端气候进行实证分析。本课题的研究不仅能够丰富极值理论的理论体系，而且能为金融时间序列建模，金融保险等领域内的相关问题研究提供理论基础。

在经济生活与现实生活中，我们面临着各种各样的极端事件，如保险公司、银行破产、飓风、洪水、地震以及火灾等，一旦这些事件发生都会给个人、团体、社会带来巨大的损失. 因此，如何利用适当的统计理论方法分析处理数据,进而预防、减少损失是一个重要的课题. 基于经典极值理论的POT 方法就可对超越一定门限的数据建模, 并计算出相应损失的风险, 进而为建立有效的极端风险防范和预警系统提供一定的理论基础. . 基于此，本课题系统地研究了两类高斯随机场之极值的极限分布问题；两类Gamma反射过程（高斯存储过程和高斯Shepp统计量）之极值的极限定理；两类泛函高斯过程（卡过程与高斯次序统计过程）之极值的极限性质；一类平稳的相依高斯随机场之极值的泛函极限定理等，获得了关于高斯过程及随机场之极值的一些极限性质，包括极限分布、尾渐近性、离散逼近、几乎处处渐近等. 同时，我们也获得了一定的研究技巧，形成一套可靠的研究方法，并用之研究了更一般的随机过程之极值的极限问题，从而从理论上完善极值理论的理论体系，并为极端风险防范和预警系统的建立提供一定的理论基础.