自相似过程与高斯随机场

Self-similar processes and Gaussian random fields have been extensivley studied in probability theory and applied in a wide range of scientific areas including telecommunications, physics, engineering, biology, economics and finance. It is of importance in both theory and application to investigate their properties. Our proposal is divided into two parts, that is, the theory part and the application part. In the theory part, we will provide a sufficient condition for a self-similar Gaussian process to be strongly locally nondeterministic. With the tool of strong local nondeterminism in hand, we will establish some good sample path properties of self-similar Gaussian processes, such as small ball probability, Chung's law of the iterated logarithm, Hausdorff measure and Packing measure of their image and graph and local time. For anisotropic Gaussian random fields, we will go further investigate their sample path properties on the base of the applicant's dissertation. In the application part, we choose the self-similar process with drift as the new risk model and show one of its applications in insurance.

自相似过程和高斯随机场一直是概率论的重要的研究领域，有着重要的理论意义和极为广泛的应用背景。应用领域涉及到电信、物理、工程、生物、经济和金融等。本项目的研究主要分为理论和应用两部分。在理论方面，我们将给出自相似高斯过程是否满足强局部非确定性的一个判断条件，并利用这一性质研究它的一些比较好的样本函数的性质，比如小球概率、Chung 重对数律、像和图的Hausdorff测度、像和图的Packing测度及局部时；对于非迷向的高斯随机场，我们将在申请人博士论文的基础上进一步研究这一模型的样本函数的性质。在应用方面，我们将采用带漂移的自相似过程作为新的风险模型并给出它在保险中的应用。

在本项目中，我们考虑了一类重要的自相似高斯过程，即次分式布朗运动，证明了其具有强局部非确定性。强局部非确定性是研究自相似高斯过程的样本函数性质的重要工具，如小球概率和Chung重对数律。 根据已有的关于临界树的contour 函数的收敛结果，我们给出了上临界Galton-Watson树的轮廓过程的极限。我们证明了剪切上临界Galton-Watson树的contour 函数的弱收敛于法国学者Abraham 和 Delmas 构造的分布。孙鸿雁及合作者考虑了带移民的分枝粒子系统的中心极限定理和大偏差。杨叙及其合作者研究的主要结果为，带一般分枝机制的一维超Levy过程分布函数过程被描述为某随机积分方程的轨道唯一解，该方程是由时间-空间高斯白噪声和泊松随机测度驱动的。这一结果推广了Jie Xiong 在2013年的结果，其结果研究的是带二叉分枝机制的超布朗运动。