可积空间上的谱与框架的存在性问题研究

This project is intended to study: (1) the existence of orthonormal bases and frame of exponential type, for the function space L^2(u) when u is a probability measure with compact support. These issues are the foundation of building harmonic and nonharmonic Fourier analysis for L^2(u); (2)the construction of a Gabor system by adding a window function when the measure u has no compact support, and to study when the Gabor system becomes a frame. These issues are basic problems in wavelet analysis and often present difficulities by themself. One feature of the project is a combined study of the problems (1) and (2); The common point of the two issues is that the measures in (1) and the window functions in (2) are both supported by sets with special goemetric structures (for instances, they might be unions of several intervals, self-similar sets and homogeneous Moran sets etc.). One of the most difficult points is to study the distribution of roots of some special polynomials with integral coefficients. These problems are naturally linked to number theory, harmonic analysis, wavelet theory, and geometric measure theory. The project team intends to combine different tools to accomplish the research.

本项目拟研究：（1）当测度u为具有紧支撑的概率测度时，L^2(u)中是否存在指数型正交基和框架。它们是建立L^2(u)上调和与非调和傅里叶分析的前提和基础；（2）当测度u不具有紧支撑时，增加窗口函数构成Gabor系统。研究Gabor系统何时成为L^2(u)中框架。这是小波分析中基本而困难的问题。将（1）和（2）结合起来研究是本项目的特色，两种情形的共同点是测度和窗口函数的支撑为具有特殊性质的集合（如有限区间并、自相似集、齐次Moran集等）。相同困难点集中在特殊整系数多项式的零点分布和结构上。本项目组拟结合常用工具，引入简单测度卷积列逼近方法、新的数论方法等研究上述问题。本项目的中心主题是分形几何、小波分析、调和与非调和Fourier分析自然结合产生的问题。

本研究项目的结果包括三个方面的内容：（1）分形测度的谱分析，（2）Gabor框架的存在性刻画，（3）特殊分形函数的图像维数研究。. 在第一方面，关于分形测度为谱测度的研究，着重考虑无穷Bernoulli卷积和一类Moran测度为谱测度的特征刻画，关于此两类测度的谱分析的研究取得了较好的成果，特别是在它们的谱结构的公共谱方面取到了突破。. 在第二方面，关于Gabor框架中的存在性问题研究，主要思考样条函数为窗口函数的判定准则，借助Zak变换，着重考虑了一阶样条函数不能成为窗口函数的特征刻画。该结果丰富了前人的工作，也为后续关于高阶样条函数成为窗口函数提供了新的思路。. 在第三方面，关于特殊分形集的维数研究，主要思考Takagi’s function的局部水平集的维数估计，该研究表面该函数的局部水平集的维数满足介值性，结果将有益于对经典Bernoulli卷积的性质了解，为经典Bernoulli卷积的谱结构研究提供新的方法。