动力系统中的加权熵的研究

Entropy theory plays a fundamental role in dynamical systems. In 1973, Bowen gave the definition of entropy for non-compact set. After that, entropy plays an important role in describing the complexity of dynamical systems. Recently, Dejun Feng and Wen Huang introduced the notion of weighted entropy for dynamical systems in order to study the dimension of some self-affine systems. The study of this project will start from weighted entropy in topological dynamical systems. Firstly, we will investigate the theory of weighted entropy. Secondly, we will use the weighted entropy to describe the size of some multifractal sets.

熵理论是动力系统的基本理论。1973年，Bowen对非紧集定义了拓扑熵。此后，熵成为刻画动力系统复杂性的重要尺度之一。最近，丰德军和黄文为了研究一类自仿系统的维数问题将加权熵引进了动力系统。本项目将以拓扑动力系统中的加权熵为出发点开展相关研究。首先，我们将研究加权熵理论，丰富熵理论；其次，我们拟运用加权熵去刻画一些重分形集合大小。

我们主要做了以下三个方面工作。.第一个工作是关于动力系统新的拓扑共轭不变量的研究。我们利用加权拓扑熵刻画了遍历测度的generic点集的大小，发现它与遍历测度的加权测度熵是一致的。我们研究了加权Bowen的回复时间的增长率，得到了Ornstein-Weiss公式。在随机动力系统中，我们得到了加权的SMB定理和加权的Brin-Katok公式。此外，我们利用packing压比较了因子映射下两个系统的复杂性，得到了两个不等式。我们利用序列熵和上熵维数刻画了原系统与诱导的测度系统之间的关系，该结果推广了Glasner 和Weiss发表在数学顶级期刊JAMS上的一个优美的结果。.第二个工作是重分形分析方面的问题。我们通过对具有弱分离性的迭代函数系统的发散点进行研究，用Hausdorff维数，packing维数刻画了两种广义的水平集。.第三个工作是正熵系统复杂性方面。我们引进\Delta-弱混合集的概念，证明了正熵系统一定存在\Delta-弱混合集，进而证明正熵系统蕴含错位混沌。另外，我们在随机系统，在一些条件下，证明了随机集正熵蕴含了平均Li-Yorke混沌。