特殊矩阵与多项式和矩阵多项式的惯性问题

多项式和矩阵多项式的惯性问题研究的是多项式和矩阵多项式的零点关于复平面上给定曲线的分布情况，它在微分(差分)方程解的稳定性理论中有重要的作用。特殊矩阵,如(广义)Bezout矩阵、(块)Hankel矩阵、（块）Toeplitz矩阵等,在解决多项式和矩阵多项式的惯性问题中扮演重要的角色，Fujiwara, Barnett, Heinig，Gohberg，Lerer等在这方面做了大量的研究工作。然而，当多项式和矩阵多项式关于复平面上给定曲线具有对称因式时，现有的一些基于特殊矩阵的判别准则失效。因此，利用特殊矩阵确定多项式与矩阵多项式的惯性问题并未完全解决。本课题将提出一个统一的用特殊矩阵确定关于复平面上给定直线或圆周具有对称因式的多项式和矩阵多项式的惯性的有效方法，给出具体的判别准则，并进行数值验证。

多项式惯性问题是稳定性理论中重要而又基本的问题，Nevanlinna-Pick插值和矩量问题是经典分析中的著名问题。本项目研究结构矩阵在求解这些问题中的应用。我们通过对多项式的变元进行扰动，解决了Bezout矩阵奇异情形的三个著名的多项式惯性问题：Hermite问题、Routh-Hurwitz问题和Schur-Cohn问题，得到了Hermite-Fujiwara定理、Routh-Hurwitz-Fujiwara定理和Schur-Cohn-Fujiwara定理的推广；通过修正的块Toeplitz向量方法，研究矩阵值Caratheodory系数问题与矩阵值Caratheodory函数类中Nevanlinna-Pick插值问题极端解的性质，证明了这两类插值问题极大质量解的存在性和唯一性；通过块Hankel向量方法，研究矩阵值Hamburger矩量问题和矩阵值Nevanlinna函数类中Nevanlinna-Pick插值问题的极端解的性质，证明了这两类插值问题极大质量解的存在性和唯一性；引入了Chebyshev型Bezout矩阵的概念，给出了这类广义Bezout矩阵的Barnett分解式和三角分解式；通过块Toeplitz向量方法，研究矩阵值Caratheodory函数类中既带有多重边界插值数据与非边界插值数据的Nevanlinna-Pick插值问题，得到了这类插值问题和一类带有限质量约束的三角矩阵值矩量问题之间的内在联系，给出了这两类插值问题的可解性准则与非退化情形通解的参数化表示；通过修正的块Toeplitz向量方法，建立矩阵值Caratheodory函数类中非退化Nevanlinna-Pick插值问题的一类特殊解与矩阵值Caratheodory系数问题中一类特殊解的内在联系，由此得到这类Nevanlinna-Pick插值问题的极小w-熵插值式和相关块Pick矩阵的极大行列式完备化问题的解。