多项式矩阵系统控制的若干基础问题研究

Polynomial matrix theory has wide application in mathematics, physics, engineering, power electronics, aerospace and other technology field in science, and it will continue to develop with the development of its applications in various disciplines. The current development of polynomial matrix thoery is far from perfect, many fundamental problems remain unresolved, and even were not yet put forward clearly to study. The project presents a number of basic research problems of polynomial matrix systems for control.From the point of view for solutions and the performance for the solution of a system of polynomial matrix description, the project studies the equivalent linearization (linear realization) and minimum linearization methods and algorithms of polynomial matrices,infinite zeros and their multiplicity, the relationship between the dynamic order of polynomial matrix system and its initial value, the equivalent transformation to keep the system property and performance, structural decomposition and diagonalization method, controllability and observability and their criteria, regularity and impulsive elimination, feedback stabilization and pole placement, Lyapunov methods for determining stability, and other issues. The results of this project will compensate the insufficiency for polynomial matrix theory and basic problems related to control, so that the development of related theory is more complete. And moreover, the study of the project is of great significance for the other branches of the control theory, algebraic theory and applications in other disciplines.

多项式矩阵理论在数学、物理学、工程技术、电力电子、航空航天等技术科学领域中具有广泛的应用，而且随着其在各学科中应用的发展而不断发展。目前多项式矩阵理论的发展还远不完善，许多基本问题尚未解决，甚至尚未被明确提出。本项目提出多项式矩阵系统控制的若干基础问题的研究，从多项式矩阵描述的系统的解及解的性能角度出发，研究多项式矩阵的等价线性化(线性实现)与最小线性化的方法与算法，无穷远零点及其重数，多项式矩阵系统的动态阶及与系统初值的关系，保持系统性质和性能的等价变换,结构分解和对角化方法，能控与能观性定义及其判别条件，正则性与脉冲消除，反馈镇定与极点配置，判别系统稳定性的Lyapunov方法等问题。本项目的研究结果将弥补多项式矩阵理论基础问题及相关控制问题研究的不足，使其相关理论的发展更加完善。而且本项目的研究对于控制理论其它分支、数学中的代数理论，以及在其它相关学科中的应用都应具有重要意义。

由于许多实际系统的描述形式为二阶或高阶系统形式，所以直接从系统原始表示形式出发的控制问题的研究在理论和应用方面更具有实际意义。基于此，本项目研究多项式矩阵系统及其相关控制问题，获得较丰富的研究结果。具体为：研究了多项式矩阵系统的等价线性化问题，给出多项式矩阵线性化结构，及线性化形式的变换算法，保证线性化系统与原多项式矩阵系统有相同的解空间；研究了多项式矩阵系统的无穷远零点与脉冲模问题，给出多项式矩阵无穷远零点代数重数和几何重数的判定方法；研究了多项式矩阵系统的正则化与零点配置问题，对于任意一个非奇异多项式矩阵给出其正常化多项式矩阵存在的条件及其求解方法，对于一个行满秩的矩形多项式矩阵，通过补偿一个矩形多项式矩阵使其构成一个方阵，并使得这个方阵没有无穷远零点且可以实现有限零点任意配置；研究了多项式矩阵的特征结构配置与脉冲消除问题，以二阶系统为例，设计了一类反馈控制器保证闭环系统无脉冲与有限特征结构的任意配置，并且导出了这类反馈控制器增益的参数化表达式，该部分结果推广到了高阶系统；研究了三次多项式矩阵系统的解耦问题，分别推导出三次多项式矩阵在严格等价变换和同谱变换下可对角化的充要条件；基于李亚普诺夫方法，建立了二阶和高阶广义系统稳定的李亚普诺夫方程，得到了李亚普诺夫方程解的存在条件；研究了多项式矩阵系统的最优控制问题，利用原系统的参数导出一个新的二阶广义Riccati方程，给出最优控制器存在的条件及求解算法；对于多项式矩阵系统的正实性问题，给出了二阶及高阶广义系统正实以及扩展严格正实的充要条件，并且给出相应的线性矩阵不等式判据。此外，本项目还研究了复杂非线性系统的优化与跟踪控制理论应用方面等问题，获得一些有意义的研究结果。本项研究进一步扩展和推广现有的理论体系。