量子信息中有关量子态的纠缠与分类的研究

量子信息是近年来发展非常迅速的多学科交叉研究领域，量子纠缠理论是量子信息中的重要内容和前沿问题。本项目主要研究量子态的纠缠判别和度量以及量子态的分类问题。一方面利用群表示理论和Bell不等式给出量子态的纠缠判别条件，研究高维混合态的纠缠程度并给出纠缠生成的明确的数学表达式；另一方面利用局域幺正变换下的不变量刻画纠缠，讨论量子态的纠缠度量。一个不变量的完全集合可以确定两个态在局域幺正变换下是否等价，通过研究不变量的完全集合来研究等价类，进而对量子态进行分类，讨论可分量子态在局域幺正变换下的轨道维数和拓扑结构，更好地刻画量子态的纠缠性质。

本项目主要研究量子态的纠缠判别、量子态的分类和束缚纠缠态的性质。 . 首先以群的生成元为基础，给出了两体量子系统上纠缠测量的一些不等式，任意不满足此不等式的态均为纠缠态。因此这些不等式不仅是一个判别任意维两体混合态纠缠的充分条件, 而且还是检测纠缠态的一个实验方法。根据置换算子,构造两体量子系统上的一类混态，并且证明了这类态是可分的当且仅当是部分转置正态。将两体量子系统的强部分转置正态的定义推广到三体量子系统，研究了三体量子系统中超强部分转置正态的可分性。根据一类正规可对易算子，给出了超强部分转置正态全可分的充分判据以及任意一个超强部分转置正态的可分分解。考虑图的拉普拉斯矩阵, 将其作为量子力学中的密度矩阵研究纠缠性质。利用重排矩阵给出了方阵的纠缠判据，同时将混合密度矩阵的纠缠性质推广到了高维,证明了四个图的张量积的密度矩阵是四体可分的。研究了星图和最近点图的纠缠性质。构造了两类广义的图积态，给出任意维两体量子系统与复边权有向图积的拉普拉斯矩阵相关联的密度矩阵是部分转置半正定且可分的，并证明了与复顶点权有向图积的拉普拉斯矩阵相关联的密度矩阵是纠缠态。. 其次为了研究多体量子系统量子态的可分性，利用厄密观测量构造算子，通过讨论算子平均值的绝对值的上限，给出多体量子系统可分态的所有分类。讨论利用泡利矩阵构造的算子，结合不等式以及线性规划等数学方法，对四体量子比特所有可能的可分态进行完全分类，包括全可分、双可分、三可分、四可分。并利用推广的泡利矩阵构造算子，实现了三体任意维系统量子可分态的分类。. 最后研究了量子信息中束缚纠缠态的构造及性质。构造了两体量子系统上的束缚纠缠态，以束缚纠缠态为例，证明了束缚纠缠态在传输中不能比经典通讯提供更好的保真度。并研究了多体量子系统的纠缠和提纯性质，构造了三体量子系统中的一类混合态，根据不同的两体分割，给出了关于纠缠的详细描述。证明了关于一种分割，这类混态是部分转置正的束缚纠缠态，而对于另外两种分割这类态是非部分转正的纠缠且是不可提纯。