奇素因子对非可解群结构的影响及其相关应用

Group is one of the basic structure of modern mathematics, and finite groups is the core of the research of the Group Theory. The prime divisors of finite groups have a profound impact on the constructure of the group. Our purpose in this project is to use the property of subgroups of odd primary power order and their normalization to study the structure of composition series, chief series of finite groups. Meanwhile, as the application, we will define a new class of nonsolvable groups through observing the quantity information of Sylow subgroup of chief factors, and uniformly portray the part of simple groups, nonsolvable groups and solvable groups. Furthermore, we will explore the structure of new class of nonsolvable groups and make the method of the solvable groups applicable to the nonsolvable groups, extend the research subject from saturated formation to nonsaturated formation, and obtain some new features of the related groups. We believe that there is certain positive significance in revealing the structure of finite groups.

群是代数学的基本结构之一，而有限群是整个群论研究的核心。有限群的各类素因子对群的构造有着深刻影响。本项目将主要考察有限群的奇素因子对非可解群构造的影响，特别拟研究奇素数幂阶子群及其正规化子对群的合成群列、主群列的影响，作为应用,结合主因子Sylow子群的数量信息的结构特点，定义新的非可解群类，将部分单群、非可解群及可解群进行统一刻画，计划深入探讨上述群类的一般构造，将可解群的研究方法拓展到非可解群的研究中，将饱和群系的研究方法推广到非饱和群系的研究中，从而尝试建立用整体思想研究非可解群的新途径。相信我们的研究工作对揭示有限群的结构会产生积极作用。

我们紧紧围绕项目既定目标和内容，全面系统地研究了群阶的奇素因子对有限群结构的深刻影响，特别是利用给定阶奇素数幂阶子群及其正规化子的性质深入探讨群的合成群列、主群列的性质，揭示了其相应的群类构造；作为应用，从p-可解群，p-超可解群的定义出发，我们利用某些单群的结构特点并结合主因子的Sylow p-子群的数量信息，定义了一系列新的广义局部群类，如广义p-可解群类，广义p-超可解群类等重要广义局部群类。随着单群分类的完成，可解群研究的不断丰富与完善，更多的国内外学者专注于寻求可解群与单群之间新的联系，我们的研究工作对上述联系作了深入探讨，发展并推动了局部化方法在群类结构研究中的应用，提供了群类群系理论在单群结构中的渗透，而且伴随这方面研究的不断深入，该领域所蕴含的丰富且深刻的内容不断产生，特别的，我们尝试将可解群的研究方法拓展到非可解群尤其是单群的研究中，已经取得了实质性的进展。