基于非均匀网格的Helmholtz方程的优化差分法及其预处理迭代算法

The Helmholtz equation has many applications in geophysics. To develop high performance numerical methods for solving this equation is of important theoretical significance and great application value. The finite difference scheme is a popular method in the oil exploration. When using uniform grids, for the purpose of accuracy, we must use the grid size established by the slowest velocity to discretize a model. As a result, heterogeneous models are always oversampled, which leads to unnecessary extra computations. To overcome this difficulty, we will combine the discontinuous nonuniform grids and the continuous nonuniform grids to discretize the computation domain and its perfectly matched layer (PML). Then, we will construct the finite difference equations by the ghost points or the weighted-averaging difference operators, and we will propose a generalized refined strategy for choosing optimal parameters of the finite difference scheme. Finally, we formulate the consistent and optimal finite difference methods for the Helmholtz equation with the PML on the nonuniform grids. A new matrix-based restriction and interpolation operator will be proposed for the multigrid method, and a multigrid-based preconditioned Krylov subspace method will be fromulated for the linear systems after discretization. The researches of this project will improve the adaptivity of the finite difference method, reduce the memory and the computational time, all of which are in favor of computing large scale heterogeneous models efficiently.

Helmholtz 方程在地球物理等领域中有重要应用，研究其高性能数值解法具有重要的理论意义和应用价值。差分法是油气勘探中一种常用的数值方法。均匀网格差分法求解该方程时，为保证计算精度，须使用由低速度所决定的较小的网格步长对整个区域进行离散，对大部分多尺度模型而言，将会导致计算量的增加和计算机资源的浪费。针对这一困难，本项目拟综合应用不连续和连续的非均匀网格技术对带完美匹配层（PML）的计算区域进行网格剖分；利用虚拟差分点或加权平均的思想构造差分格式；拟提出推广化的加细选取策略来选取优化系数，最终建立与带PML的Helmholtz方程相容的优化差分格式；拟提出一种新的限制和插值算子来构造依赖于矩阵的多重网格法，并采用多重网格预处理的Krylov子空间方法来求解离散化得到的线性系统。研究成果将提高差分法对模型的适应性，降低对内存的需求，减少计算时间，为大规模实际问题的计算奠定坚实的基础。

Helmholtz 方程在地球物理等领域中有重要应用，研究其高性能数值解法具有重要的理论意义和应用价值。差分法是油气勘探中一种常用的数值方法。均匀网格差分法求解该方程时，为保证计算精度，须使用由低速度所决定的较小的网格步长对整个区域进行离散，对大部分多尺度模型而言，将会导致计算量的增加和计算机资源的浪费。针对这一困难，本项目应用subgridding技术对带完美匹配层（PML）的计算区域进行网格剖分；结合虚拟差分点和加权平均的思想构造了差分格式；提出了推广化的加细选取策略来选取优化系数；最终建立了基于subgridding下二维Helmholtz方程的优化九点差分格式和优化二十五点差分格式，借助数值实验对均匀网格下的优化差分格式与subgridding下的优化差分格式进行了比较，突显了所提格式在地震波场模拟中的有效性和优势；进一步，基于二十五点差分格式，给出了一种新的基于矩阵的延拓算子来构造依赖于矩阵的多重网格法，并采用多重网格预处理的Krylov子空间方法来求解离散化得到的线性系统。为了进一步的提高数值精度，本项目对二维的Helmholtz方程建立了极小化数值频散的四阶紧致差分格式，证明了该格式的收敛性，分析了数值波数和真实波数的误差，并提出了确定差分格式中加权系数的加细优化策略，数值实验说明了该格式的高精度和有效性。研究成果提高了差分法对模型的适应性，提高了数值精度，降低了对内存的需求，减少了计算时间，为大规模实际问题的计算奠定了坚实的基础。