差分方程组的并行预处理算法及其应用研究

科学计算中大型线性方程组的预处理算法研究，在工程计算中具有重要的应用价值，是目前工程领域和科学计算领域研究的热点之一。而"算法设计的基本理念就是，将复杂化归为简单的重复。"因此，该项目将紧密结合并行机自身的特点，准备从一种新的角度，对微分方程有限差分离散所形成线性方程组(简称差分方程组)的并行预处理算法进行研究。首先，从具体差分格式出发，基于并行机数据结构和差分格式为提高精度往往在求解区域不同部分采用不同格式或策略这一实际情况，采用"邻域"和低秩逼近等技术来抓住差分点之间的主要矛盾和联系；然后，结合原微分方程的一些性质以及算子分裂、配点法和多重网格等重要设计思想，简单且高度"并行"地构造出此类典型问题的并行预处理子；最后，将上述思想近一步发展，获得一种针对一般大型稀疏线性代数系统的新型并行预处理算法。该方案以简驭繁，以期为实际计算提供一种廉价的预处理方案。

科学计算中大型线性方程组的求解和预处理算法研究，在工程计算中具有重要的应用价值，是目前工程领域和科学计算领域研究的热点之一。本项目主要结合典型离散化方法（如有限差分方法）所形成的大型线性代数方程组，对其相关算法和预处理技术进行研究。取得了一系列相关成果，譬如：基于“邻域”和多项式逼近理论，建立了基于经典的高阶紧致有限差分格式的一种改进加速收敛方案---数值梯度型差分格式；基于Sylvester行列式理论和Chio紧致压缩过程，完善并改进了一种求解一般线性系统的“并行压缩”算法，确立了相关理论基础，数值试验表明其具有很好的数值稳定性，且具有天然的可并行性；注重理论联系实际，在原有的研究基础之上，结合电磁散射、辐射等计算电磁学实际问题，针对其有限差分离散或有限元离散所形成的代数方程组，提出了一系列新型预处理子构造算法和新型Krylov子空间算法，顺利完成了相关基础研究工作，并为该项目的后期发展奠定了坚实基础。.项目在执行过程中，在IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques、Computer Physics Communications、Journal of Computational and Applied Mathematics等学术期刊上发表论文17篇，其中SCI收录论文14篇，EI收录3篇。 在本学科领域国际会议上作学术报告2次；获四川省科技进步一等奖1次；近3年来指导研究生6人，毕业3人，协助主导教师，指导博士生3人、青年教师2人，逐步形成了有高水平学术骨干组成的稳定的学术梯队。