Helmholtz方程的频散极小化高阶有限差分法及其预条件迭代算法

Helmholtz equation has important values in theoretical research and practical applications for many fields of science and technology. However，with the increasing of wavenumbers, it becomes very difficult to solve the equation numerically. More exactly, it is difficult to construct efficient discretization schemes and to solve the resulting large linear system when the wavenumber is large. To solve the above problems, this project will first incorporate the mechanism of dispersion minimizing into the high-order finite difference schemes, and propose the dispersion minimizing high-order finite difference schemes to reduce the numerical dispersion for large wavenumbers, hence improving the accuracy of the numerical solution. For solving the resulting large linear system, we develop the preconditioned iterative method Bi-CGSTAB, based on the complex-shifted Laplacian and multigrid method. By the spectral analysis of the discrete preconditioned systems and dispersion analysis of the high-order finite difference schemes, an optimal difference scheme that is favorable for the iterative method, is chose from the different schemes with similar numerical dispersion. Then, according to the high-order finite difference scheme, we construct a matrix-based prolongation operator for the multigrid, which makes the multigrid approximate the inversion of the preconditioner effectively, hence improving the overall efficiency of the preconditioned iterative method.

Helmholtz方程在若干科学和技术领域具有重要的理论与应用价值。然而，随着波数的增大，方程的数值求解会变得非常困难，即难以构造有效的离散逼近方案和求解离散后的大规模线性系统。针对以上问题，本项目首先拟研究把频散极小化机制引入高阶有限差分方法，提出频散极小化高阶差分方案来有效地减小大波数问题的数值频散，提高方程的离散逼近精度。对于离散后的大规模线性系统，拟研究发展基于复移位拉普拉斯算子与多重网格预条件的Bi-CGSTAB迭代算法来求解。通过离散预条件线性系统的谱分析和高阶差分方案的频散分析，进一步从数值频散相近的不同高阶有限差分方案中确立有利于预条件系统迭代求解的最佳方案。接着，根据最佳高阶有限差分方案来构造基于矩阵的多重网格延拓算子，使得相应的多重网格能够有效地逼近预条件子的逆，从而提升预条件Bi-CGSTAB迭代法的整体求解效率。

Helmholtz方程常用来刻画波的传播，在地球物理、航空、海洋技术等领域有着广泛的应用，其数值求解具有重要的研究和应用价值。Helmholtz方程数值求解的挑战是高波数带来的“污染效应”(数值频散)，即随着波数的增加，数值解的精度急剧降低。为了保持精度，计算时必须充分加细网格，从而又导致了巨大的计算量，特别是对于三维高波数情形。针对这个问题，本项目提出了基于频散极小化机制的高阶有限差分法来提升求解精度。首先，把频散极小化机制与高阶差分法有机结合，引入加权参数，分别设计了四阶紧致和非紧致差分方案。紧致方案产生的系数矩阵带宽较小，但对于方程光滑性要求较高，而非紧致方案得到的系数矩阵带宽较大，但对光滑性要求较低。对于非紧致差分方案带来的边界离散问题，发展了匹配界面和边界(Matched Interface and Boundary, MIB)方法来处理。其次，进行解的唯一性、收敛性分析和频散分析。通过误差方程的一维分解，建立唯一性和收敛性分析方法。基于频散极小化机制选取加权参数，把参数选取转化为优化问题求解。最后，设计预条件Krylov子空间迭代法来求解方程差分离散后得到的大规模稀疏线性系统。在此过程中，基于移位Laplacian来生成预条件子，并构建基于矩阵的多重网格来逼近预条件子的逆。此外，为了进一步提升求解效率，项目还实现了求解过程的分布式并行计算，即基于集群环境下的MPI(Massage Passing Interface)技术，设计高阶差分离散及预条件迭代求解的并行计算算法。项目研究实现了Helmholtz方程的高精度快速数值求解，促进了Helmholtz方程的数值解的发展，也为其实际应用奠定了良好基础。