Sturm-Liouville 特征值逆问题的矩阵方法

Since, compared with the inverse eigenvalue problem of differential equation, the matrix inverse eigenvalue problems have much more abundant theory and much more efficient numerical methods, this project is concerned with matrix methods for inverse Sturm-Liouville problems. It is to recover the unknown coefficient by solving a related matrix inverse eigenvalue problem. First, the discrepancy between the inverse Sturm-Liouville problem and the approximation problem is reduced by using optimal grids, correction, interpolation methods and so on. Then based on the results of matrix inverse eigenvalue problem, multigrids and sensitivity analysis, we design efficient algorithms for inverse Sturm-Liouville problem and then establish the convergence and give numerical experimens. The expected results of this project will not only enrich the convergence theories of inverse spectral problem, but also can be used for damage detection and safety inspection. So the research has important theoretical significance and practical value.

与微分方程特征值的逆问题相比，正在蓬勃发展的矩阵特征值逆问题有更为丰富的理论和更多有效的数值方法。因此，本项目拟研究Sturm-Liouville特征值逆问题的矩阵方法，即通过求解相应的矩阵特征值逆问题来重构未知系数函数。我们采用最优网格、特征值修正和函数插值等方法，缩小Sturm-Liouville 特征值的逆问题与其逼近问题的误差，再结合矩阵特征值逆问题的理论与算法、多重网格思想和灵敏度分析，设计求解Sturm-Liouville特征值逆问题的有效算法并给出收敛性分析和数值算例。本项目的预期成果不仅能丰富逆谱问题的收敛理论，相关算法也能服务于故障诊断和安全检测,具有重要的理论意义和实用价值。

Sturm-Liouville特征值的逆问题在航天、航空、机械工程以及土木工程等诸多领域都具有重要的应用，但与其相比，正在蓬勃发展的矩阵特征值逆问题有更为丰富的理论和更多有效的数值方法。因此，本项目研究了Sturm-Liouville特征值逆问题的矩阵方法，即通过求解相应的矩阵特征值逆问题来重构未知系数函数。已取得的主要研究成果有：研究了重构势函数的Numerov方法及修正Numerov方法的收敛性，给出了算法收敛的一个充分条件并分析了算法的收敛阶；针对密度函数的重构问题，提出了一个离散模型的最小二乘问题并基于特征值的灵敏度分析设计了梯度法。项目组发表3篇SCI论文。研究成果不仅丰富和发展了逆谱问题的理论和算法，而且可将数值代数的理论和方法应用到实际问题之中去。