纠缠辅助量子纠错码的三个关键问题研究

纠缠辅助量子纠错码是包含稳定子量子纠错码为子类的新型量子纠错码，性能可超过稳定子量子纠错码。本项目拟研究纠缠辅助量子纠错码的纠缠辅助稳定子的结构与等价、码的界及其构造。首先研究如何确定纠缠辅助稳定子和它的正规化子的代数结构和几何特征，以便简化纠缠比特数目的求法，并确定纠缠辅助稳定子和全局稳定子在保距变换下的等价标准型；在此基础上，进一步研究特殊类型经典码的完全迷向子空间和完全非迷向子空间的确定，以及基于这些特殊类型经典码的纠缠辅助量子纠错码的构造。其次研究如何确立纠缠辅助量子纠错码的参数间的制约关系，建立纠缠辅助量子纠错码的新的上（下）界。然后，寻求构造纠缠辅助量子纠错码的新数学方法，构造出具有良好参数（或性能优于稳定子量子纠错码）的纠缠辅助量子纠错码。这些问题是纠缠辅助量子纠错码应用于量子计算、量子通信和量子密码学不得不解决的关键问题。

本项目研究了纠缠辅助量子纠错码（EAQECC）中的的三个基本理论问题并对相关编码问题做了扩展探讨，主要研究成果如下：. 我们建立了辛几何形式和加性码形式的两种等价纠缠辅助稳定子框架；这些框架理论建立了纠缠辅助量子纠错码（EAQECC）与一般经典码（辛码或加性码）之间联系的桥梁，明确给出EAQECC各参数的几何意义，将EAQECC的等价问题转化为加性码的等价问题，为研究EAQECC的界以及构造EAQECC奠定基础。我们建立了线性EAQECC的EA-Plotkin界和EA-Griesmer界，其中线性EAQECC的Plotkin界改进了已有的EA-Plotkin界，EA-Griesmer界包括经典Griesmer界和标准量子码的Griesmer界为特例；证明渐近EA-Hamming界是不成立的，而渐近量子Hamming界是成立的；这些成果为判断EAQECCs的最优性确立了标准。构造出多类最优EAQECC，包括达到EA-Singleton界且超过EA-Hamming界的码、达到EA-Griesmer和饱和EA-Plotkin界的码；我们还解决了由二元和四元BCH码构造EAQECCs的问题。结合国内外量子码研究进展，还做了扩展研究。解决了前人提出的一个非对称量子纠错码的公开问题，构造出多类参数优良的非对称量子纠错码；构造出多类参数优良的量子纠错码；得到加性码的一个上界，构造出达到此界的码。为完成上述研究，我们研制了四个用于计算或构造经典码和量子码的软件。