有噪声纠缠比特的纠缠辅助量子纠错码研究

The scheme of entanglement-assisted quantum error-correcting codes (EAQECCs) assumes that the ebits of the receiver are noise-free. In practical situations, noises on these ebits are unavoidable. EAQECCs with noisy ebits are called noisy EAQECCs.This project aims at studying mathematical formalism of noisy EAQECCs, constructions of noisy EAQECCs and analysizing performance of them. Firstly, we consider how to establish "stabilizer" formalism of noisy EAQECs, then set up relations among stabilizers, symplectic spaces and additive codes, and give mathematical forms of noisy EAQECCs. Secondly, we discuss characteristics of "combination code" which is composed of an EAQECC and a standard QECC, and manage to construct this special kind of noisy EAQECCs.Thirdly, we try to find new mathematical methods for constructing genaral noisy EAQECCs and construct noisy EAQECCs with good parameters and are better than standard quantum error-correcting codes. At last, we study channel fidelety of noisy EAQECCs, analysis performance of different noisy EAQECCs from view points of resource useage and fidelety, and choose the best EAQECCs to use in practice. By solving the previous peoblems, we can reveal intrinsic rules of noisy EAQECCs, and provide theoretical basis for practical applications of noisy EAQECC in quantum communication, quantum computation and quantum cryptography.

纠缠辅助量子纠错码假设收信方的纠缠比特不受噪声影响，而实际量子系统中噪声是不可避免的。收信方的纠缠比特受噪声影响的纠缠辅助量子纠错码叫做有噪声纠缠辅助量子纠错码。本项目研究有噪声纠缠辅助量子纠错码的数学理论框架、构造方法以及性能分析等问题。首先研究如何建立"稳定子"形式的有噪声纠缠辅助量子纠错码的理论框架，利用稳定子与辛子空间以及加性码的联系，给出有噪声纠缠辅助量子码的数学形式；其次讨论由纠缠辅助量子码和标准量子码构成的"组合编码"的特征与构造；进而探讨一般有噪声纠缠辅助量子码的构造方法，构造出性能超过标准量子码、参数优良的有噪声纠缠辅助量子码；最后，分析有噪声纠缠辅助量子纠错码的信道可靠度，从资源节省、信道可靠度高低等角度比较不同编码方案的优劣及适用场合。通过上述研究揭示有噪声纠缠辅助量子纠错码的内在规律，为有噪声纠缠辅助量子纠错码应用于实际量子通信、量子计算和量子密码学提供理论依据。

本项目研究有噪声纠缠辅助量子纠错码（EAQECC）的数学理论框架、构造方法以及性能分析等问题，并结合编码前沿进展开展了一些扩展研究。.（1）研究有噪声纠缠辅助量子纠错码的理论框架，确定极大纠缠EAQECC的特征以及与经典码的联系，设法构造出给定距离或维数的极大纠缠的EAQECC，所得到的EAQECC大多数是最优或拟最优的； 建立了纠缠辅助量子纠错码（EAQECC）的Griesmer界，并给出达到此Griesmer界的EAQECC存在的必要条件，构造出四类最优EAQECC，它们比标准量子码具有更好的纠错能力。.（2）研究了码长、纠缠辅助比特数目与q元纠缠辅助量子MDS码距离之间的联系，证明了多种纠缠辅助量子MDS码的距离可超过q+1，具体构造出若干类距离更大的纠缠辅助量子MDS码。 .（3）为构造“组合编码”形式的有噪声EAQECC，研究了量子Cap、对偶包含BCH码和常循环码、自正交码等的构造问题，构造出许多参数优良的标准量子码与非对称量子码，许多新构造的量子码达到最优或优于前人所得到的相应码长的量子码，这些结果为进一步研究纠缠辅助量子纠错码做好必要准备。.（4）研究了循环码的局部度和最优局部修复码的构造，构造出许多类二元和三元最优局部修复码。