三类特殊结构的纠缠辅助量子纠错码问题研究

In this project, we investigate the construction of entanglement-assisted quantum error-correcting codes (EAQECCs) with three kinds of special structure. We establish an algebraic framework and algebraic construction methods of EAQECCs, which make up the universality construction method of the existing EAQECCs. This project is divided into three aspects: firstly, we consider how to determine the dual containing characteristics of classical cyclic codes. And we establish an algebraic description on entangled bits which plays a central role in EAQECCs construction. Further, the constructions of EAQECCs are given. Secondly, we investigate mathematical characteristics of the image of the classical cyclic codes over an extension field, and establish algebraic characterizations of the entangled bits over an extension field. Furthermore, the constructions of EAQECCs derived from the image of codes over the extension field are discussed. Finally, we discuss some EAQECCs with specific geometric structure which derived from specific classical codes. By the investigation of a class of special geometry codes (LCD codes), some excellent parameters of maximal entanglement EAQECCs are given. The previous problems in this project play an important role whether in further revealing the mathematical mechanism of EAQECCs mechanism or in promoting the practical application of EAQECCs in quantum communication, quantum computation and quantum cryptography.

本项目研究三类特殊结构的纠缠辅助量子纠错码的构造问题，建立纠缠辅助量子纠错码的代数结构框架和代数构造方法，弥补现有的纠缠辅助量子纠错码构造方法存在的普适性不足的问题。具体分为三个方面的内容：一、研究某些具有特殊代数结构的经典循环码的对偶包含特性，建立纠缠比特的代数描述，给出纠缠辅助量子纠错码的构造方法。二、研究扩域上的经典循环码的像的数学特征，给出扩域上纠缠比特的代数刻画，给出构造纠缠辅助量子纠错码的相关方法。三、研究具有特定几何结构的经典码构造纠缠辅助量子纠错码的理论及应用问题，通过研究一类特殊几何特性的码（LCD码）构造参数优异的纠缠辅助量子纠错码的相关问题。本项目研究的问题无论是对于进一步揭示纠缠辅助量子纠错码的数学理论机理还是对推动纠缠辅助量子纠错码在量子通信和量子计算中的实际应用都具有重要的作用。

量子纠错码是实现大规模量子计算和量子通信的重要保障。纠缠辅助量子纠错码是一类更广泛的量子纠错码。本项目研究三类特殊结构的纠缠辅助量子纠错码的构造问题，建立纠缠辅助量子纠错码的代数结构框架和代数构造方法，拓展了现有的纠缠辅助量子纠错码构造方法。具体分为三个方面的内容：一、构建了纠缠辅助量子纠错码的纠缠比特的代数表示，给出了特殊代数结构循环码（包括BCH码、负循环码、常循环码、GRS码及其推广码类）的对偶包含关系，建立了纠缠比特与定义集之间的关系，构造了参数优异的纠缠辅助量子纠错码。给出码长、纠缠辅助比特数与纠缠辅助量子MDS码的最小距离之间的关系，构造出若干类距离更大的纠缠辅助量子MDS码。二、研究了量子码的代数结构，探索了非Hermitian自正交码构造量子码的理论与方法，分析了纠缠辅助量子纠错码与标准量子码的代数构造机理，进而构造了参数优异的（纠缠辅助）量子纠错码。三、研究了小域上具有特定几何结构的经典码（LCD码）的构造问题，建立了LCD码与纠错辅助量子码的代数关系，通过LCD码构造了参数优异的极大纠缠的纠缠辅助量子纠错码。通过上述研究，可进一步揭示纠缠辅助量子纠错码的内在规律，为具有特殊代数结构的纠缠辅助量子纠错码应用于实际量子计算、量子通信提供相应的理论支持。