S^4与洛仑兹空间形式中的曲面的共形几何

Moebius differential geometry is the sub-geometry of Lie sphere geometry. A point sphere in R^n is invariant under Moebius transformation. In this project we study Moebius geometry of surfaces in S^4. We first classify Willmore surfaces with constant Moebius curvature. We study compact Willmore surfaces with flat normal bundle. In this project we also introduce the conformal model of Lorentzian space forms, denoted as Q^n_r to study conformal geometry of surfaces. We calculate the variation of Willmore functional of timelike surfaces in Q^n_r. We discuss spectral transforms, Darboux transforms and c-polar transforms of timelike isothermic surfaces in Lorentzian space forms Q^n_r. We classify all the isothermic Willmore surfaces in Q^n_r. In this project we hope to give a manifestly conformally invariant construction of those flows which preserve isothermic surfaces and Willmore functional in Lorentzian space forms.

Moebius几何是李球几何的子几何，Moebius变换群保持欧氏空间中的点球不变。本项目旨在研究S^4中曲面的Moebius几何若干问题，包括分类常Moebius曲率的Willmore曲面，研究法丛平坦的紧致Willmore曲面；在本项目中，我们将引入Lornetz空间形式的共形模型(Q^n_r)去研究其中曲面的共形几何，研究问题包括计算类时曲面的Willmore泛函的变分；讨论Q^n_r中类时等温曲面的spectral变换，Darboux变换及c-polar变换；研究Q^n_r中等温Willmore曲面的分类问题；构造出Lorentz空间形式中共形不变的等温曲面流和Willmore曲面流。

共形几何与Laguerre几何分别研究曲面或者子流形在共形变换群和Laguerre变换群下的不变性，二者都是李球几何的子几何。几何学家一直致力于“球”几何的研究并且取得了 广泛的研究成果。比较经典的内容可以参考Blaschke的书(Vorlesungen über Differentialgeometrie, Vol.3.)。项目申请者对Laguerre几何与共形几何都做过一些具体研究，并且得到了一些研究成果，以此希望能揭示这两种几何之间的内在联系。在本项目研究中，项目负责人特别考虑了四维宇宙时空RW(Robertson-Walker Space)中的Marginally trapped曲面与零平均曲率曲面。任何三维空间形式$M^3(c)$中的曲面可以嵌入到RW时空看作是该时空中光束的光源，并且其速度方向沿着类光的测地线。我们主要来研究RW时空中的Marginally trapped曲面，即曲面的平均曲率向量是类光的。对于Margianlly trapped曲面我们做关于面积泛函的变分，得到RW时空中零平均曲率曲面满足的Euler-Lagrange方程。特别地，共形极小曲面(Willmore曲面)与Lagurre极小曲面都是RW时空中特殊的极值曲面，因此RW时空很好地统一了共形几何与Laguerre几何。. 在本项目中，我们还研究了伪黎曼空间形式中类时曲面的共形几何。我们定义了关于类时等温曲面的广义的Christoffel变换，并且证明该变换还保持类时等温曲面。我们给出了一个类时等温曲面的Darboux对满足的curved-flat型。最后确定了广义的Christoffel变换与Darboux变换满足交换定理。. 综上，本项目通过研究宇宙时空模型RW时空中的MT(Marginally trapped)曲面与$H=0$的曲面，揭示了经典的共形几何与Lagurre几何都可以被统一到RW时空中研究。我们希望在后续的研究中更多的发现两种李球几何子几何的深刻联系，进一步解决李球几何中的重要研究课题。