自相似序列的结构及其相关分形集，谱测度和维数

信息的记录均表为一个序列。而自相似序列在信息论及其应用中是非常重要的一类，近三十年来，有关它们的研究已非常深入，与其它学科有广泛联系（如数论、调和分析、分形、遍历、C*代数、物理、理论计算机与生命信息学等），为交叉性很强的活跃学科。综合分形几何、量子化、动力系统与词上组合等方法技巧，我们可揭示自相似序列的内在性质及表征的信息。特别，可以研究自相似序列及其相关分形集的谱测度和维数等各类性质；它们生成的原子表面和Tiling的分形以及离散Fourier变换谱、薛定谔算子的谱的结构和维数。反过来，通过得到的这些分形集的性质以及相关的动力学性态和测度的维数，我们也可刻画原来序列结构及分类。因此本研究涉及到分形几何、动力系统与序列交叉，同时也是这些研究方向的本质内容。我们将在已有工作的基础上，推动这些学科的发展，探索新的研究领域，这些理论结果也将应用于工程技术、生命信息学、形式语言和自动机等领域。

本课题研究主要取得了如下成果：.1）结合代换序列的分形问题。Sierpinski地毯与具有重叠结构的自相似集一直是悬而未决的问题，我们利用代换图递归的方式进行了研究，确定了一类满足Mastrand定理的截集方向。.2）关于Lipschitz等价类的刻画的研究，以递归迭代产生的一般Sirpinski地毯类作为代表，对部分连通的情形给出了刻画，此外还获得部分一般性的结果。.3）利用Hankel行列式的递归式，对结合代换序列的无理测度问题进行了研究，改进了Pade逼近的要求，确定了一类无理测度为2的序列。.4）拟对称与加倍测度的问题，对于一大类1维Moran集证明它们都是极小拟对称的，此外，对原子测度的拟对称刻画也获的了较好的结果。.5）将2和3字母可逆代换生成系的结果做到多字母的情形和离散的Schraedinger算子的谱的生成机制与分形结构性质的几何结构、维数问题继续深入研究和整理修改中。6）对于退化的情形，特别是没有扩张（收缩）的代换，它的Rauzy分形结构则以前完全没有研究，我们曾对于一类典型的Triplex代换，确定了它的Rauzy分形，基本的Tilling性质，它们相应退化成彼此平行直线上的离散点集，在补空间投影到同一直线的闭包是有界的，Hausdorff维数为1的，而可逆的情形是区间，许多有趣的结果仍在继续深入。.7）有关应用研究，我们在已发表的Trapping on modular scale-free and small-world networks with multiple hubs一文中研究了一类标度自由的网络，利用自相似性，利用维数作为工具进行了刻画。另外，我们还建立一些应用模型并进行了初步研究，相关结果仍待深入以及整理。