结合方案、球面和酉群上的设计

Design theory is one of the important area in algebraic combinatorics. It deals with the existence problem and construction of finite sets which approximate the whole set. Adopting representation theory of finite groups, harmonic analysis on association schemes and spheres, as well as quantum information theory, this project will investigate designs on association schemes, spheres and unitary groups. More specifically, it will investigate the property of relative t-designs in P- and Q-polynomial association schemes, especially in Hamming association schemes and Johnson association schemes, classification of almost tight spherical t-designs, existence of tight complex spherical t-designs, construction of unitary t-designs and the application in quantum information theory. This project is significant both in theories and applications. On the one hand, it will provide effective mathematical methods to study quantum information. On the other hand, it extends the fields of design theory.

设计理论是代数组合学中的一个重要研究领域，它研究接近全集的有限子集的存在性问题和构造。本项目主要研究结合方案、球面和酉群上的设计，包括P-和Q-多项式结合方案尤其是Hamming和Johnson结合方案上的相对t-设计的性质，近乎紧球面t-设计的分类，紧复球面t-设计的存在性，酉t-设计的构造及其在量子信息论中的应用，所采取的方法主要涉及有限群表示理论、结合方案和球面上的调和分析以及量子信息理论。本项目的开展具有重要的理论意义和应用价值，一方面为量子信息的研究提供有效的数学方法，另一方面为设计理论提供新的课题。

该项目负责人研究了结合方案、球面和酉群上的设计，现将2019年至2021年的主要成果总结如下:.(1)Bannai-Nakahara-Zhao-Zhu[5]一文利用酉群的不可约表示，通过酉(t-1)-群在一个酉矩阵上作用的轨道得到酉t-设计的一般性构造定理，并且给出了酉3-设计和酉4-设计的数值构造;.(2)球面s-距离集t-设计的分类是球面上的代数组合中的重要课题，Bannai-Bannai-Xiang-Yu-Zhu[3]一文借助于Mathematica求解丢番图方程的整数解完成了球面2-距离集{4,2,1}-设计的分类;.(3)Bannai-Bannai-Tanaka-Zhu[4]一文对二元Hamming结合方案在两个壳上的紧相对2e-设计进行了研究，证明了其距离集是e次Hahn多项式的零点，并且利用零点的单根性证明了e>=5时仅存在有限多个紧相对2e-设计;.(4)大多数关于设计理论的研究成果都集中在Q-多项式结合方案，原因之一在于其具有较好的代数结构，Zhu-Watamura[2]研究了在P-多项式结构下的Johnson结合方案的相对t-设计，并且给出了在一个壳上的紧相对2-设计的快速构造算法;.(5) 非二元的Hamming结合方案的每个壳是非二元的Johnson结合方案，利用这一结构，Zhu[1]进一步对非二元的Hamming结合方案上的相对t-设计限制在一个壳上的结构进行了刻画。.上述工作对该研究领域的发展将起到一定的推动作用。