在结合方案和球面上的代数组合

Algebraic Combinatorics is one of the important branches of combinatorics. There, we study high level of symmetries and nice structures of combinatorial objects, including graphs (such as strongly regular graphs, distance-regular graphs), association schemes (such as P-polynomial and/or Q-polynomial association schemes, etc.) as well as good finite sets (such as codes and designs) on association schemes and/or on spheres or other spaces. In this research, we will study some fundamental problems in algebraic combinatorics on association schemes and on spheres (and other related spaces). More explicitly, in relation with algebraic combinatorics on association schemes, we study the following topics: geometric representations of Q-polynomial association schemes, classification problems of P-and Q-polynomial association schemes, commutative association schemes, coherent configurations, t-designs in association schemes, .etc. While in relation with algebraic combinatorics on spheres, we study spherical t-designs which are shells of lattices, structure problem and the classification problem of tight designs, classification of minimal cubature formulas in analysis, sphere packing problems, as well as the problem of t-designs in other metric spaces. The important aspect of this research is that the research is deeply related not only to many areas of mathematics such as representation theory of finite groups, number theory, finite geometries, numerical analysis, mathematical physics, computational mathematics, but also to many areas in applied areas, such as network theory, statistics, cryptography, etc. The important feature of this proposal is that our research in algebraic combinatorics has close connections with other areas, and can contribute very well for the further developments of these and related areas of mathematics.

代数组合论是组合数学的一个重要分支,它研究具有高度对称性和优美结构的组合对象,包括图(如强正则图, 距离正则图等）、结合方案(如P-多项式方案和Q-多项式方案等)和有限良性集（例如与结合方案或与球面相关的码与设计等）.本项目主要研究代数组合论中与结合方案和球面相关的若干基本问题。在结合方案方面主要研究Q-多项式方案的几何表示、具有P-和Q-多项式结构的结合方案的分类、交换结合方案、凝聚构形、结合方案中的t-设计等问题；在球面方面主要研究由格的壳体构成的球面设计、紧设计的结构及其分类、分析学中极小积分公式的分类、球填充问题以及其他一些度量空间中的t-设计等问题.这些问题的研究不但与有限群表示论、数论、有限几何、数值分析、数学物理、计算数学等学科有深刻的本质联系，而且在网络理论、统计学、保密通讯等领域有重要应用.本项目的研究对于代数组合论及相关学科的发展，将发挥积极的推动作用.

该项目负责人非常成功地继续研究了结合方案和球面上的代数组合。现将2013年至2016年最重要的成果总结如下:（1）Bannai-Bannai-Tanaka-Suda一文研究各种结合方案尤其是P-和Q-多项式结合方案上的（紧）相对t-设计的一般性理论，此文非常清晰地阐明了两类紧相对t-设计的Fisher型不等式的意义；（2）对于t取值较小的情况，我们成功的研究了每个具体的P-和Q-多项式结合方案上的紧相对t-设计，特别是对二元Hamming结合方案和Johnson结合方案上的紧相对t-设计的研究取得了非常好的成果。主要结果发表在三篇文章中：Bannai-Bannai-Bannai,Zhu-Bannai-Bannai和Bannai-Bannai-Zhu；（3）进一步地，Bannai-Bannai-Tanaka-Zhu对上述问题以及每个P-和Q-多项式结合方案的某些具体结果进行了综述。该项目负责人相信这篇综述性文章中的工作对将来研究P-和Q-多项式结合方案是非常有用的。因此这一工作对紧相对t-设计和其它很多相关领域的研究课题譬如对P-和Q-多项式结合方案本身的研究之间起到了很好的桥梁作用；（4）Bannai-Bannai研究了两个同心球面上的紧欧氏t-设计，进而得到一个决定性的结果：对于每一个大于等于13的奇数t，只存在有限多个两个同心球面上的紧欧氏t-设计；（5）Bannai-Okuda-Tagami发起了对紧球面调和指标4-设计的研究，这类设计是对球面t-设计的推广。接下来，这一问题在 Zhu-Bannai-Bannai-Kim-Yu中得到了进一步的研究，该文中证明了：紧调和指标球面6-设计和8-设计的不存在性，以及当e>=5时紧球面调和指标2e-设计的渐进不存在性；（6）Bannai-Bannai通过一个初等的论证，得到这样一个全新的令人欣喜结果：区组个数接近Fisher型下界的组合t-设计极为罕见。总的来说，该项目负责人在过去四年中最重要的贡献在于：第一，我们于2016年成功的出版了一本（日文）专著：《代数组合导引》[I]，将来会考虑将其翻译为英文；第二，成功的发表综述性论文：Bannai-Bannai-Tanaka-Zhu。因为这两项工作对该研究领域进一步的整体发展将会产生至关重要的影响，该项目负责人坚信这它们在未来会产生持久的影响。