基于细分的几何逼近与可视媒体处理中的非线性理论与方法

The objective of this project is to conduct the research on some key problems related to the geometric approximation and visual media processing by means of nonlinear theory and methods and to develop and enrich the basic theory and methods for computational geometry, computer graphics, pattern recognition as well as video processing, analysis and understanding. The contents include, but are not limited to the followings: the design of the nonlinear models which effecively represent the complex visual object; the exploration of the blending vector valued interpolation methods by continued fractions applied to the video super resolution reconstruction; the nonlinear methods for the removal of high density pulse noises in videos; the design and implementation of fast and effective video inpainting algorithms; the construction of dynamic uniform three-point ternary interpolation subdivision schemes; the construction of the three-point ternary subdivisions by combining interpolation with approximation; the construction of the shape preserving subdivisions; the exploration of the dynamic interpolation subdivisions with nonuniform control points; the study of the subdivisions with fractal properties; the study on the extention of curve subdivisions to surface subdivisions with arbitrary topological structure; the study on the properties of the quaternary subdivisions; the study on the fairing of subdivision curves and surfaces.

本项目研究目标是以非线性理论与方法为基础平台, 对几何逼近和可视媒体内容处理中的若干关键技术展开研究，以丰富和发展计算几何、计算机图形学、模式识别和视频处理、分析与理解中的基本理论与方法。具体的研究内容包括：设计一种能够有效表示复杂视频场景目标的非线性模型；探索视频图像超分辨率重建中的混合向量连分式插值方法；去除视频中高密度脉冲噪声的非线性方法；设计并实现快速、有效的视频修复算法；构造动态均匀的三点三重插值细分格式；构造插值与逼近相统一的三点三重细分格式；构造保形细分格式；探究在非均匀控制顶点下的动态插值细分格式；构造和研究具有分形性质的细分格式；研究将曲线细分方法推广到任意拓扑结构的曲面细分格式；研究四重细分格式的相关性质和造型能力；探究曲面造型细分格式和细分曲面的光顺性等。

主要研究内容涉及五大方面：1. 细分算法与几何逼近方面，包括：一类带双参数Lane-Riesenfeld算法的变形格式、具有三次逼近精度的六点插值细分格式、一种插值与逼近相融合的四点三重多参数细分格式、含有一个初始控制参数的动态二重三点逼近细分格式、一种插值与逼近相结合的四点插值-割角细分格式、一类由Laurent多项式诱导的带参数二重细分、一类新的（2n-1）点二重动态逼近细分、统一的三重曲线细分格式等；2. 广义B-样条及其几何造型方面，包括：对偶广义B-样条基及其应用、广义B-样条曲线的几何迭代拟合、广义B-样条几何迭代拟合、广义B样条曲线的节点去除与光顺算法等；3. 四元数插值样条曲线方面，包括：基于参数5次多项式的单位四元数插值样条曲线、广义B-样条四元数曲线、C2连续的单位四元数插值样条曲线等；4. 图像与视频超分辨率重建方面，包括：基于稀疏表达的极坐标Newton-Thiele有理插值核的超分辨率重建方法、基于Newton-Thiele有理插值核和稀疏主成分分析相结合的视频与图像超分辨率重建方法等；5. 图像与视频降噪方面，包括：基于自适应时空滤波的视频降噪方法、基于自适应阈值和K-均值聚类的视频去噪方法、基于TV和高阶变分相结合的自适应去噪模型等。此外，还研究了矩形域上的参数曲面自由变形算法，基于广义Bernstein算子的函数逼近问题，一种紧凑的局部特征描述子的构造方法，基于多尺度块稀疏编码直方图的鲁棒目标跟踪等。