几何造型与图像处理中的非线性方法研究

本项目以研究新的非线性数值方法为出发点，以更加实用的参数曲线曲面表示方法、带形状参数的加权混合非线性样条、基于四元数的连分式插值与逼近等为手段，以解决几何造型和图像处理中存在的不足为目的,对几何造型与图像处理中的若干问题进行系列研究，以丰富和发展几何造型与图像处理的内涵与理论体系。主要研究内容包括以下五个方面：（1）构建几何造型中更加实用的参数曲线曲面表示；（2）构造圆弧新的高精度逼近方法；（3）构造几类具有二、三次B样条性质的非线性参数B样条；（4）构造四元数旋转边缘检测算子，对彩色图像进行边缘检测；研究四元数空间上的聚类方法，实现彩色图像的分割；（5）研究基于四元数的连分式插值与逼近；研究对偶四元数，并探讨对偶四元数在三维计算机图形学及机器人中的应用。

围绕研究计划我们在曲线曲面造型、图像去噪与滤波、视频目标跟踪、视频分割与修复等方面开展了一系列研究工作，取得了较丰硕的成果，取得的主要成果如下：提出了一种基于三角与双曲多项式加权混合的非线性样条，CTH-B-样条；构造了一种加权的有理四次样条插值曲线，给出了该有理曲线保单调和 连续的条件；构建了一种带参数的分段有理三次Hermite插值样条；给出了一种带有参数的有理三次三角Hermite插值样条；利用分段积分的思想构造了一类带多个形状参数的三角多项式均匀B样条曲线曲面；构造了一类基于三角多项式的拟三次B样条曲线；提出了一种基于三角和代数多项式加权的二次样条曲线；通过积分近似的方法构建了一组规范化的拟Bézier基并用其定义了拟Bézier曲线；提出了一种由四次Bézier曲线逼近圆弧的方法；分析了C-Hermite多项式的性质，基于这些性质构建了双三次孔斯曲面；利用带权Bernstein基的对偶基函数，给出了Bernstein基的对偶泛函和平方可积函数的最小二乘逼近算法；研究了拟Legendre基在反函数逼近和等距曲线逼近上的应用；给出了H-Bézier曲线的降多阶逼近的方法；提出了一种新的构造曲线的算法—五点二重逼近细分法，利用细分格式的生成多项式讨论了该细分格式的一致收敛性及Ck 连续性；提出了一种新的二重四点细分格式，证明了细分极限曲线至少是C3连续的，通过对初始点施加条件，可使该格式生成的细分极限曲线保单调或保凸；提出了一种新型的基于偏微分方程变分方法的图像去噪方法；提出了一种新的基于各向同性扩散模型、各向异性扩散模型和总变分模型相结合的去噪方法；提出了一种改进的非局部平均方法用于图像去噪；利用梯度域奇异值分解( SVD) 提出一种自适应的有效非局部滤波方法；基于脉冲检测和非局部均值的通用脉冲噪声滤波器，提出了一种有效的通用图像脉冲噪声滤波器；提出了一种结合增量学习和基于局部稀疏表达的多实例学习的在线视频目标算法；提出了局部稀疏表示与多示例学习联合的追踪方法；提出了一种基于局部稀疏表示模型的联合追踪方法,方法的核心思想是在图像局部稀疏表示下，联合产生式与判别式追踪模型来完成目标外观表示，并结合粒子滤波实现目标跟踪；提出了一种基于Thiele型连分式的自动视频划痕去除方法。