格子Boltzmann方法及其在非线性阻尼波方程中的应用研究

Nonlinear damped wave equations have been widely used in various fields, such as differential geometry, solid mechanics, quantum field theory and nonlinear optics. How to design numerical algorithms with high efficiency and precision, is one of the hot topics that are highly concerned in the areas of science and engineering. The project attempts to study an important class of nonlinear damped wave equations through physical modeling and numerical simulations, which is based on lattice Boltzmann (LB) method. The one is built on microscopic models and mesoscopic kinetic theory. It includes the following three aspects: 1.Mathematical and Physical Modeling: For a class of (2+1)-dimensional nonlinear damped wave equations, we will propose three kinds of LB models, namely, the single relaxation time model, the two relaxation time model and the multiple relaxation time model, and study the consistency, stability and error estimation of the above models; 2.Boundary Treatment: We will study the calculation accuracy, the computational stability and the computational efficiency of the proposed models influenced by different boundary treatments in order to devise the new boundary treatment scheme with higher precision and easier implementing structure; 3.Application Research: We will apply the proposed models to the real physics problems to study the nonlinear systems with different initial values and boundary conditions. We believe this will reveal the essential characteristics of the nonlinear systems. The work in this project could extend the applications of the LB method in solving nonlinear partial differential equations, and provide support for exploring the evolution law of the nonlinear systems with various boundary conditions.

非线性阻尼波方程在微分几何、固体力学、量子场论和非线性光学等领域中有着十分重要的应用。如何设计相应的高效高精度的数值算法，一直是科学与工程界高度关注的热点问题之一。本项目基于微观模型和介观动理学理论的格子玻尔兹曼(LB)方法，拟对一类重要的非线性阻尼波方程进行物理建模和数值模拟研究，主要内容包括以下三部分： 1.数学物理建模：针对一类2+1维非线性阻尼波方程，建立单松弛、双松弛和多松弛因子LB模型，并对上述模型进行相容性、稳定性和误差估计分析； 2.边界处理：研究不同边界格式对上述模型精度、稳定性和计算效率的影响，发展更高精度、更易实施的边界格式； 3.应用研究：结合实际物理问题，应用上述模型，研究非线性系统在不同初边值条件下的演化规律，揭示非线性系统的物理本质。 本项目的完成将推动LB方法在非线性偏微分方程介观模拟中的应用，并为探索若干边界条件下非线性系统的演化规律提供有力支持。

非线性阻尼波方程在复杂非线性流体系统中有着十分重要的应用，研究相应的数值算法一直是科学与工程领域高度关注的热点问题，研究其规律机制对于实际问题具有重要的指导意义。本项目的研究是基于非平衡统计物理与介观动理学理论的格子玻尔兹曼方法，在原有模型基础上，利用多尺度分析技术，深入分析模型中平衡态分布函数和修正函数及其约束条件，发展并改进对非线性阻尼波方程数值求解的格子玻尔兹曼算法。针对实际复杂流体系统，发展含外力的离散玻尔兹曼模型，并将所构建模型应用于可压流体瑞利泰勒不稳定性演化机制及其规律的研究，重点研究可压效应对RT不稳定性的影响、相伴随的非平衡效应以及演化过程中的能量转换与输运。与此同时，我们采用不同离散速度模型，基于群在集合上的作用，给出相应离散速度集合的一个划分；利用对称变换群理论确定格子玻尔兹曼方法中平衡态分布函数的两种不同形式；通过基于不同离散速度模型的平衡态分布函数的比较，更直观地描述平衡态分布函数形式的确定及其与离散速度模型的关系。通过对本项目的研究，不仅仅为求解非线性波方程提供有效的求解算法，而且拓宽了格子玻尔兹曼方法在科学计算中的应用空间；同时推进了该介观数值模拟方法在复杂流体系统多尺度描述的发展，这将有助于理解复杂流体不稳定性的演化机制，也可以为现有程序或软件中宏观建模的改进（例如修正项的构造）提供物理参考。