分数阶非线性偏微分方程的相关数学问题

The project is to study the related problems of nonlinear fractional partial differential equations，which are derived from quantum physics, water wave, atmospheric physics, economy etc. The focus of the project is mainly to study the local and global well-posedness of solutions for the Cauchy problems of nonlinear fractional partial differential equations, for example: space-fractional Schrodinger equations, time-fractional Schrodinger equations. Moreover, The project is also to study low regularity solutions of some dispersive equations for example: KdV equation, nonlinear Schrodinger equations with derivative, equations, 1D Zakharov system, Kadomtsev-Petviashvili-I equation. The main tool in this project is harmonic analysis. These problems, as ones of the important frontier topics in the field of nonlinear partial differential equations, can also be applied in the engineering theory, application and numerical simulation.

拟研究源于量子物理、水波、大气物理、金融经济等科学领域中具有实际应用背景的分数阶的非线性偏微方程的相关数学问题。重点研究： 空间是分数阶的非线性Schr?dinger 方程，时间是分数阶的非线性Schrodinger 方程，拟研究其初值问题解的适定性问题。 此外拟研究一些经典的色散波方程如：KdV方程，一维带导数的非线性Schr?dinger方程，一维Zakharov系统，Kadomtsev- Petviashvili-I方程；拟研究其初值问题解的最佳的适定性问题。本项目的主要方法是调和分析理论。 这都是具有很强的应用背景的问题，在国际非线性偏微分方程研究领域中是本质的和十分重要的前沿课题之一，具有重要的理论意义并在工程数值模拟中具有实际应用价值。

本项目在分数阶非线性偏微分方程的相关数学问题的有关课题上取得了重要进展，主要包括：充分利用构造合适的具有小时间截断的二进制型Bourgain空间，并把方程的线性部分的性质和非线性部分的性质（即方程的能量）结合起来考虑的方法,克服了只用单个性质的缺点；此外又引入了一个修正的能量方法。本项目把这些方法应用到与之相关的一些色散波方程上去。深入研究了五阶Kadomtsev-Petviashvili-I方程解的局部适定性， 首次得到了在负指数空间中解的适定性结果；深入研究了三维Zakharov-Kuznetsov方程在能量空间中解的整体适定性；深入研究了三维Klein-Gordon-Zakharov方程在小初始值条件下解在能量空间中的整体适定性；深入研究了finite-depth-fluid方程和经典的Benjamin-Ono方程解的适定性，主要是在没有利用Gauge变换的情形下，研究了它们的Cauchy问题解的适定性结果，改进了已有的结果；深入研究了五阶KdV方程解的适定性，改进了已有的结果。此外本项目还利用调和分析技术研究了一些流体力学的模型。 这些课题的进展在数学上有一定的理论意义，在量子力学，流体力学，和水波等方面有一定的实际应用价值。其中共发表和接受8篇论文， 投出去3篇。