基于实代数几何的多项式优化方法研究

This project will focus on polynomial optimization methods using real algebraic geometry and related problems. It features the connection of polynomial optimization and semidefinite programming (SDP) by sums of squares of polynomials and other tools from real algebraic geometry. This research enables ones to obtain approximate solutions to considered problems in polynomial time, which manifests the significance of this project in both theory and practice. Considerable work has been done in this area over the last decade and many other problems are still open. The investigation of this project will include the follows. By the exploitation of truncated tangency varieties and SDP, we will study criterions of the types of degenerated critical points of polynomial functions, and thereby certifying their local optimizers. For polynomial optimization problems with non-compact feasible region, we consider optimal value functions and efficient SDP relaxation methods by means of computations of generalized critical points. For polynomial optimization problems with constraints of polynomial matrix inequalities, we consider the finite convergence of its matrix-type SDP relaxation methods via the connection between optimality conditions in nonlinear programming theory and the local-global principle. The topics above are very original, challenging, as well as useful in practice. The recent work we have done in this area provides this project with essential prerequisite and practical scheme.

本项目研究基于实代数几何的多项式优化方法及相关问题，其特点是利用平方和等实代数几何理论，将多项式优化等相关问题与半定规划问题结合起来，使我们在多项式时间内可以得到问题的近似解，因此在理论与实际方面都具有重要的意义。近十几年来，该研究领域方兴未艾，成果丰富，同时又有许多亟待解决的问题。本项目主要研究的课题包括：利用截断切簇理论和半定规划等工具，研究多项式函数退化关键点类型的判别准则，进而得到多项式函数局部最优解的验证方法；结合广义关键值的相关理论，研究非紧致可行域上多项式优化问题的最优值函数及有效的半定松弛方法；对于带有多项式矩阵不等式限制条件的多项式优化问题，通过分析其最优性条件与局部-全局准则的关系，研究其矩阵形式的半定松弛方法的有限收敛性等。这些研究内容具有创新性，挑战性和实际应用价值。近年来，我们在该领域所做的工作和取得的成果为本项目提供了坚实的研究基础与可行的研究方案。

本项目主要研究的是基于实代数几何的多项式优化方法及相关问题。这类问题的特点是所涉及的函数为多项式函数，所涉及集合为基本半代数集，很多优化问题可以归结为此。对此，我们可以利用计算代数几何及实代数理论，来分析问题解的代数性质或者得到问题全局解的松弛方法，这是用传统优化方法很难做到的，因此这类研究具有重要的理论意义和应用价值。当问题所涉及的集合为紧致基本半代数集时，关于问题的全局解方面的研究，在已有工作中已经取得了许多重要的结果。本项目主要致力于在非紧致情形下，多项式优化相关问题的解决以及相关问题局部解方面的研究。本项目的主要研究内容和成果如下：（1）我们研究了多项式函数的退化关键点类型的判定问题，它可看作是多项式优化问题局部解的判定问题。通过定义和计算相应的可信半径，我们将此问题转化为零维系统的实根孤立问题，从而给出了符号的判定方法；（2）我们研究了非紧致基本半代数集凸包的闭包的半定表示方法，通过齐次化技巧，给出了改进的theta body 和Lasserre 松弛两类半定表示集合序列，并对其收敛性做了分析；（3）我们研究了给定代数集实数部分集合上含参数的线性目标函数的优化问题，在可行域非紧致或者非光滑情况下，给出完备算法划分参数值空间并在每一划分区域给出优化问题最优值函数的表示多项式；（4）我们研究了半无限多项式规划问题的松弛方法，在指标集紧致和非紧致两种情况下，我们分别给出问题的线性规划和半定规划松弛方法，从而可以得到问题最优值的具有收敛性的上界和下界；（5）为了将多项式优化方法应用到随机微分方程解的近似问题中，我们研究了由分数布朗运动驱动的随机微分方程解的估计和刻画，这方面成果为本项目的后续工作奠定了基础。