基于吴(文俊)方法的实代数几何中符号计算

The symbolic computation is an important content of computational real algebraic geometry, and it involves mainly such topics as follows: deciding the solvability of systems of real polynomial equations and the consistency of semi-algebraic systems; finding all the solutions or certain special solutions when a system of real polynomial equations or a semi-algebraic system has its solutions，and representing accurately the solutions in a certain symbolic form; computing the real dimension of a real variety or a semi-algebraic set. In order to treat these topics, this subject aims at certain special points in real varieties and semi-algebraic sets, e.g. interval endpoints, limit points, real singular points, isolated points and critical points, and devises some effective algorithms for catching these special points.. Based on the well-known Wu's method, a system of real polynomials is intended to be decomposed into some triangular chains with augmented initial set such that these augmented initial sets, regarded as systems of inequations, can reflect the characteristics of special points. With the aid of the computer softwares Maple and wsolve, the algorithms of this project will be made into several general programs to treat experimental examples.

符号计算是计算实代数几何的一个重要内容，它主要包括如下课题：判定实多项式方程组的可解性和半代数系统的相容性；在有解的情况下，寻求方程组（或半代数系统）的全部解或适合特定条件的部分解，使得所求解被精确地表示为某种符号形式；计算实簇或半代数集的实维数。为处理相关的判定问题与计算问题，本项目将着眼于实代数集和半代数集中具有较多数学信息的某些特殊点，比如区间端点，极限点，实奇异点，孤立点和各种临界点，并建立捕获这些特殊点的一些有效算法。. 本项目将基于著名的吴方法，根据所涉及的特殊点的特有信息，把实多项式系统分解成某些多项式三角列以及它们的“增广”初式集，使得这些“增广”初式集作为不等方程组可体现出实多项式系统的特殊零点的相关数学信息。本项目将按照这一思路建立有关算法，使得这些算法可通过计算机软件Maple和wsolve，可编制成处理实例的通用程序。

本项目的任务是通过著名的吴（文俊）方法， 处理一些实代数几何中符号计算问题。在资助期间，我们共撰写了13篇学术论文，其中8篇正式发表，其余5篇已投稿于有关学术刊物。. 本项目完成的主要研究工作如下: 基于吴方法（第二零点分解定理），通过两种不同的途径分别建立了新的有效算法，使得在多项式组实零点集的每个半代数连通分支中能寻获到至少一点；解决了等式约束条件下多项式极小化问题，使得可精确地求出受约束的下确界，判定有限下确界的可达性，并在可达时有效地寻找出一个最小值点；通过Sturm定理，获得了实二元有理函数在分母零点处是否存在极限的一个有效判定方法；通过多项式组的普通三角分解，进一步改善了多项式半正定性的一个判定方法；将实代数几何中著名的点定理（实零点定理，正点定理和非负点定理）推广到交换环上矩阵。此外，一些有关拟连续偏序集，拟连续格和完备交半格的结果被获得。. 与现存文献中方法相比较，我们寻求多元多项式系统的实零点的新方法既不涉及多项式的无限小变形，又不涉及所谓的中心点的选取。等式约束条件下的多项式极小化是一个NP-难问题。现存的一些方法常要求约束多项式组满足某些条件，也未涉及寻求最小值点，且计算出的约束下确界往往是近似的。为了判定实二元有理函数在分母零点处是否存在极限，现存方法涉及Puiseux级数的计算，同时要求分母零点的孤立性。我们的方法对分母多项式的零点没有任何假定条件，也不涉及Puiseux级数的计算。作为判定半正定多项式的进一步改善，新算法仅需要普通的多项式系统三角分解，且减少了一些三角分解的步骤。通过计算机代数系统Maple和软件Wsolve，这些算法都已编制成处理实例的通用程序。