带跳的倒向随机发展方程及其应用研究

本项目主要研究无限维空间中由Poisson随机鞅测度和Brown运动共同驱动的带跳的倒向随机发展方程及其在随机控制中的应用。分以下四个部分：第一部分研究带跳的抽象倒向随机发展方程，其特点是二阶微分算子可以是随机的和随时间t变化的，将建立弱解对生成元的连续依赖性和存在唯一性。第二部分研究带跳的二维倒向随机Navier-Stokes方程，获得适应解的存在唯一性。第三部分研究有跳跃的非Markov随机递归最优控制的动态规划原理及其关联的带跳的随机HJB方程，并利用第一部分建立的带跳的倒向随机发展方程理论获得随机HJB方程弱解的存在唯一性。第四部分研究带跳的抽象倒向随机发展系统的最优控制问题，将在弱解的意义下建立最优控制的最大值原理和验证定理，并将其应用到无限维倒向线性二次最优控制问题。本项目的研究内容直接来源于倒向随机偏微分方程和随机控制中富有挑战性的热点问题，具有重要的理论和实际应用意义。

本项目主要研究了随机发展系统的最优控制问题及其应用。获得的主要成果如下: （1）研究了扩散项含有控制且控制区域为非凸集情形的无限维随机发展系统的最优控制问题，通过引入随机双线性泛函和Reisz表示定理对二阶对偶过程进行刻画，进而建立了最优控制全局形式的最大值原理，解决了这一长期悬而未决的公开问题。（2）研究了随机系数的无限维倒向随机发展系统的最优控制问题，建立了最优控制的最大值原理和验证定理，并将其应用到无限维倒向线性二次最优控制问题，获得了最优控制的存在唯一性及其随机Hamilton系统的对偶表示。(3) 研究了具有随机系数的带跳的线性二次最优控制问题，获得了最优控制的对偶表示和状态反馈表示，建立了带跳的随机Riccati方程解的存在唯一性理论。（4）研究了带跳的平均场延迟随机系统的最优控制问题，建立了最优控制的最大值原理和验证定理，并将其应用到均值方差套期保值问题，获得了最优投资策略和有效前沿的显式表达式。（5）研究了带跳的无限维倒向随机发展方程，建立了弱解的正则依赖性和存在唯一性并将其应用到带跳的倒向随机偏微分方程的Cauchy问题，建立了其强解的存在唯一性和正则性理论。（6）研究了带跳的倒向随机Navier-Stokes方程，利用Stokes算子和非线性算子将其改写成带跳的抽象倒向随机发展方程，建立了适应解的存在唯一性理论。（7）研究了有跳跃的非Markov随机递归最优控制问题，建立了相应的动态规划原理和带跳的随机HJB方程Sobolev弱解的存在唯一性。（8）研究了一般情形的随机系统及正倒向随机系统的次最优控制问题，建立了次最优控制的随机最大值原理和验证定理。.本项目研究目标基本完成，项目组在该项目资助下发表学术论文13篇，完成论文4篇，其中一些主要研究成果发表在《SIAM Journal on Control and Optimization》、《Automatica》、《Journal of Mathematical Analysis and Applications》、《Journal of Computational and Applied Mathematics》等权威学术期刊，项目组成员多次参加学术会议并作报告。项目负责人还在此项目基础上获得中国博士后基金面上项目、中国博士后基金特别资助项目。2013年项目负责人被确立为浙江省中青年学科带头人