关于带跳的随机发展方程的Engelbert定理及其应用

Yamada-Watanabe theorem is an important method to prove the existence of strong solutions for stochastic differential equations. Engelbert theorem is a beautiful complement for Y-W theorem, which can be used to prove the strong uniqueness for SDEs. So the study on Engelbert theorem is important in science. In this project, we mainly study the Engelbert theorem for the SDEs and stochastic evolution equations driven by general Levy processes. The aim is to get a simplified Engelbert theorem and then to study the existence and uniqueness for stochastic evolution equation by using this theorem. Firstly, we are based on the fundamental theory of SDEs with jumps. Secondly, we study the martingale characteristic for Poisson process and general Levy process. After that, we construct the the relationship between the driven terms and the weak solutions of the SDEs. Finally, the theorem will be proved by using Kurtz’s result.

Yamada-Watanabe定理是判断随机微分方程强解存在性的重要方法，Engelbert定理是Yamada-Watanbe 定理的美妙完善，可以用来证明随机微分方程解的强唯一性. 因此研究随机微分方程的Engelbert 定理对于研究随机微分方程解及其唯一性问题具有一定的科学意义. 本项目研究由一般Levy过程驱动的随机微分方程和随机发展方程的Engelbert定理, 期望在漂移项、扩算项系数仅仅满足一般可测性的条件下，得到在实际应用中更容易判断的简化形式的Engelbert定理，然后应用该定理研究随机发展方程的解的存在唯一性. 本项目以带跳形式的随机微分方程的基本理论为基础，以Poisson随机测度鞅刻画问题的研究为主线，以驱动过程与方程弱解之间的关系的研究为桥梁，以Kurtz的Yamda-Watanabe-Engelbert 结果为依据，最后得到期望的结果.

存在唯一性问题是数学研究中的基本问题，大偏差理论研究的是稀有事件发生概率的指数型估计，随机微分方程的参数估计问题是实际应用中面临的首要问题。基于上述问题，我们分别研究了带跳随机微分方程解的弱唯一性和联合弱唯一性等价性问题， 带跳的具有微小扰动随机发展方程解的分布的收敛速度问题，带跳的具有反射壁的随机微分方程的参数估计问题。对一维情形下带跳的随机微分方程，我们得到解的弱唯一性和联合弱唯一性是等价的--即相应的 Englbert 定理成立；对具有微小扰动随机发展方程，我们证得方程的解满足 Freidlin-Wentzell 大偏差原理；对带跳的反射 Ornstein-Uhlenbeck 过程，我们得到漂移项参数的最大似然估计量及渐进性质。通过对随机微分方程弱唯一和联合弱唯一性的研究，我们发现二者与带跳随机微分方程的鞅问题有密切的联系；其次，得到的随机发展方程的 Freidlin-Wentzell 大偏差原理对计算随机偏微分方程的参数估计的收敛速度具有应用价值；最后，获得的带跳反射 Ornstein-Uhlenbeck 过程最大似然估计为下一步的统计推断及实际应用奠定了必要的基础。