实数非整数基表示中若干集合的分形性质及相关问题

Over the past few decades, representations for real numbers in non-integer bases has been extensively studied and its study revealed a number of connections with fractal geometry, dynamics, ergodic theory and graph theory, etc. It has received a lot of attention. With the methods and techniques of fractal geometry, dynamics and ergodic theory, we will first investigate three classes of sets, which are: 1. a set composed of some bases satisfying some conditions; 2. a set composed of some points having fix number q-expansions; 3. a set composed of all q-expansions of a point. We study the equivalent characterization, fractal properties and topological structure of the first two sets. The growth rate, fractal dimension, uncountability and universal expansion reveal the complexity of the last set. We will study the relation among them. Furthermore, we will investigate the similar three classes of sets of self-similar sets with overlaps in fractal geometry. These research questions reveal the overlaps of fractal geometry, representations for real numbers in non-integer bases and dynamics, to solve them we need to integrate the methods of different subjects and develop new techniques. The investigation of this project is of important significance for advancing fractal geometry and representations for real numbers in non-integer bases.

近几十年来，随着实数非整数基表示研究的深入，其与分形几何、动力系统、遍历理论、图论等学科的联系一再被揭示，逐渐成为国内外同行关注的热点。综合分形几何、动力系统、遍历理论等方法和技巧，项目拟首先研究实数非整数基表示中的三类集合：1. 由满足某条件的基组成的集合；2. 由点组成的集合，该集合中每个点有相同的固定个数的q-展式；3. 由点的所有q-展式组成的集合。我们研究前两类集合的代数刻画、分形性质、拓扑结构；增长率、分形维数、不可数性和普适展式是第三类集合的复杂性度量，我们研究这些复杂性度量之间的关系。进而，拟把对这三类集合的研究推广到分形几何中不满足开集条件的自相似集中的类似三类集合上。这些问题体现了分形几何、实数非整数基表示、动力系统等学科的交叉，需要融合不同学科的思想方法和发展新技巧。研究成果对进一步丰富和推进分形几何及实数非整数基表示的发展具有十分重要的意义。

项目的研究领域属于数的非整数基表示，其与分形几何、动力系统、遍历理论、数论等学科密切相关，是国内外同行关注的热点。项目围绕着实数非整数基表示的经典和广义系统开展研究，取得了一系列研究成果，主要工作有：给出非整数基表示中唯一表示集、和与其相关集合的图准确表示，这给了许多抽象的代数结果以具体的几何描述；推广了前人很多工作，研究了唯一表示集和其对应的唯一序列集的拓扑性质；证明非整数基表示中多码（大于1）表示集是开集等价于这个集合非空，更进一步，我们推广了Sidorov的一个重要结论，证明了有无数个非整数基使得多码表示集的Hausdorff维数与唯一表示集的Hausdorff维数相等；另一方面我们也证明了当基在K-L常数和M+1之间时，勒贝格测度几乎处处多码表示集的Hausdorff维数严格小于唯一表示集的Hausdorff维数；我们完全推广了实数非整数基表示，使得数可以在多个基和非整数的字符集条件下被表示，我们推广了Parry的字典序刻画和关于唯一展式的许多结论；我们推广了经典的实数非整数基表示系统中分割唯一集为平凡集和可数无限集、可数集和不可数集的临界值，在广义系统下得到更复杂的结论。项目的研究工作促进了分形几何、实数非整数基表示、动力系统和数论等学科的交叉和融合。研究成果对进一步丰富和推进分形几何及实数非整数基表示的发展具有十分重要的意义。