分形集合和测度上的若干位势理论问题

在本课题的研究中，我们将结合分形几何、现代位势理论、奇异积分等相关领域的理论、方法和技巧，交叉研究位势、调和函数、调和测度、代换动力系统等的分形几何与分析问题，并将其应用到具有不规则几何或组合性质的一些数学物理、生物数学、数理金融、数据压缩等数学模型中去。主要理论问题有：边界为分形的区域上的调和测度的分析与几何性质；分形集合或曲线的Martin边界；具有分形边界或分形支撑的位势和解析函数的奇异边界增长性质，特别是它们与重分形的内在联系；相关代换序列的动力系统或分形性态；利用分形或重分形理论探讨保形映照中涉及的不规则集合的分析性质。主要应用问题有：通过拟自相似变换研究分形数据或图像的压缩算法；利用自相似或仿射曲线研究金融数学涉及的随机分形曲线的性态；利用代换动力系统研究DNA序列；具有分形热源的场测量的统计方法等。