重叠结构自相似集的若干问题研究

Self-similar sets with overlaps have been extensively investigated recently in fractal study. This project will investigate the local qualities of self-similar sets with overlaps from both algebraic and geometrical views. Let U and M denote the sets having unique code and multiple codes, respectively. Our investigation will concentrate on the sets U and M, includeing computing their Hausdorff dimensions.based on their algebraic characterizations; giving a equivalent characterization for the sets to be self-similar sets; analyzing the cardinality relationships among sets U, M and F; exploring the growth rate of points, if a.e. points of F has a continuum of distinct beta-expansions. These problems are closely related to representations of real numbers in non-integer bases and symbolic dynamics. Consequently, this project will enhance intercross and penetration in these subjects, enrich their theoretics, find new methods and applications, which will give a more deep understanding on the self-similar sets with overlaps and make a more deep study on the related problems in representation of real numbers and symbolic dynamics.

具有重叠结构的自相似集是近期分形几何领域研究的热点问题。本项目拟采用代数和几何结合的方法对具有重叠结构自相似集的局部性质进行研究。具有重叠结构自相似集F中的点如果用N个（依赖于相似压缩变换的个数）符号所生成的符号空间中的点来编码，U表示只有唯一位置码与之对应点的集合，M表示至少有两个位置码与之对应点的集合。我们拟对集合U和M进行研究，主要包括在这两类集合的代数刻画、分形维数；这两类集合为自相似集的充要条件；分析集合U、M 和自相似集F基数之间的关系；在自相似集F勒贝格测度几乎处处每个点都有不可数个位置码条件下，研究点对应位置码的增长率等。这些问题与实数非整数基表示、符号动力系统密切相关。因此本项目的研究工作将更深刻地认识具有重叠结构的分形集，同时也有助于实数非整数基表示论、符号动力系统中相关问题的深入研究，促进分支学科之间交叉与渗透，丰富它们的理论，发现新方法和应用。

具有重叠结构的自相似集是近期分形几何领域研究的热点问题. 本项目研究内容涉及到分形几何理论和应用两方面. 在分形几何理论研究方面, 我们主要对有重叠结构的自相似集局部性质进行刻画, 该自相似集与实数非整数基展开密切相连. 自相似不变集的重叠程度依赖于生成迭代函数系统的压缩比和平移量等, 因此我们对实数非整数展开中的一类由压缩比(或称为基)构成的集合进行研究, 在这类基下存在不变集中的一个点具有固定个数的q-展开: (1)由基构成集合的拓扑结构, 在这类基下存在不变集中的一个点具有可数个q-展开; (2)确定由基构成集合的最小以及次小元素, 在这类基下存在不变集中的一个点具有固定个数的q-展开; (3)在不变集勒贝格测度几乎处处每个点都有不可数个q-展开条件下, 研究由不变集中点所有q-展开组成集合的增长率、Hausdorff维数和集合基数之间的关系, 这些量反应了该类集合的复杂度; (4)研究平面上一类自仿集平移交的分形维数. 这些结论进一步深化了有重叠结构的自相似集中局部精细结构性质的研究. 在分形理论应用方面, 我们研究:(1)研究群对称性分形集图形的构造机制及绘制技术;(2)基于分形理论的图像编码(去噪).