正截面曲率1/2最大半径球上的微分结构和几何刚性

This proposal is concerned with the differential structure and rigidity of spheres of positive curvature and half maximal radius. The diameter sphere theorem says that any complete Riemannian manifold of sectional curvature bounded below by 1 and diameter strictly bigger than half π is a homeomorphic sphere. It is a long-standing open problem in differential geometry that whether M admits any exotic differential structure of spheres. In this project we will try to understand and solve this problem in the more special case that M has radius strictly bigger than half π from a new perspective, which arises from our earlier research on Alexandrov spaces and a recent new result on conjugate cut points and closed geodesics in Riemannian manifolds. The main approach is following metric comparison geometry, involving methods from geometric analysis and differential topology. We will study the following problems: (1) the rigidity of sphere of half maximal radius in terms of conjugate points; (2) the convergence of conjugate points on spheres of half maximal radius under Gromov-Hausdorff topology; (2) the diffeomorphism stability of spheres of half maximal radius, which is equivalent to the uniqueness of differential structure on those spheres.

本项目将深入研究正截面曲率1/2最大半径球上的微分结构和几何刚性。当一个完备的黎曼流形M满足截面曲率大于等于1，直径大于π/2时，由直径球定理可知，M同胚于球。M上是否容许有非标准的微分结构，是一个几十年来未被解决的公开问题。本项目将围绕该问题，从一个新的角度出发，以比较几何和度量几何为主并尝试结合几何分析、微分拓扑中成熟的技术手段，对更特殊的1/2最大半径球的几何刚性和微分同胚稳定性开展研究。主要的研究思路，是基于我们之前关于Alexandrov空间的研究工作和最近关于黎曼流形上共轭割点和闭测地线的一个新观察提出的。我们拟研究如下问题：（1）1/2最大半径球上关于共轭点的几何刚性；（2）1/2最大半径球上共轭点在Gromov-Hausdorff拓扑下的收敛性；（3）1/2最大半径球在Gromov-Hausdorff拓扑下的微分同胚稳定性（等价于微分结构的唯一性）。

如果一个完备的n维黎曼流形M的截面曲率大于等于1, 而且能覆盖整个流形的测地球的最小半径>π/2, 则由Grove-Shiohama的最大直径球定理可知, M同胚于标准球, 我们称其为一个1/2最大半径球。当流形M的Ricci曲率大于等于(n-1)时，当流形的体积接近于n维标准球面的体积，或者第n+1特征值接近于n维标准球面的体积时，又Colding和Petersen的结论，流形的半径会接近于π。Colding证明了此时M一定微分同胚于球，并且在几何上，M与标准球的度量是Gromov-Hausdorff接近的。本项目计划研究主要内容之一是，在第一共轭点有一定限制的情况下，研究1/2最大半径球上面容许的微分结构和几何刚性问题。由于Ricci曲率有下界的空间形式微分结构与几何刚性问题，与本项目密切相关，我们也进行了这方面的研究。.通过该项目的开展，我们取得的主要结果如下：.1. 研究了一般黎曼流形上第一共轭点和测地线的性质, 加强了 Innami-Shiohama-Soga 的主要定理 和Klingenberg的经典结论。作为应用，得到黎曼流形上的局部单射半径 Lipschitz 衰减的 sharp 估计和局部凸半径 sharp 估计, 改进了经典的 Whitehead 定理和梅加强的最近结果。.2. 证明了如果一个完备黎曼流形M上每一点的第一共轭轨迹是一个点, 则M等距于常正曲率空间形式. 作为推论, 如果1/2最大半径球M上每一点的第一共轭轨迹都是一个点, 则M等距于常正曲率的标准球. 这个结论从本质上改进了Xia的结论，并推广了Berger-Kazdan-Yang的Wiedersehen球定理。基于此，我们提出了下面的猜想：如果1/2最大半径球M上每一点的第一共轭轨迹的直径都很小，则M微分同胚于常正曲率的标准球..3. 证明了 Ricci 曲率有一致负下界、直径有一致上界, 体积熵几乎极大时的黎曼流形一定微分同胚于双曲流形, 这解决了 2011 年 F. Ledrappier-X. Wang 提出的一个公开问题。证明了在万有覆叠空间非坍缩的条件, 或Ricci 曲率两边有界的条件下, 具有几乎极大回卷体积的黎曼流形一定微分同胚于空间形式, 推广并在一定意义下改进了 Cheeger-Colding-Perelman 的体积几乎极大微分球定理。