具某些有界曲率流形的几何与拓扑之研究

This programme is a continuation of a previous one "The structure on Noncompact Complete Manifolds, Function-Theoretic Properties and Applications" (No19801026), but much more is put on the geometric and topological aspects. After Cheeger-Gromoll's structure theorem on manifolds with nonnegative sectional curvature, one puts more attention on the notion of Ricci curvature. Then, one developed various tools studying Riemannian manifolds, e.g. the splitting theorem of Cheeger-Gromoll, Grove-Shiohama's critical theory on the distance function, and Abresch-Gromoll's estimate on the excess functuion etc. Another much more important tool is Gromov's convergence theory on Riem. manifolds. Based on these, Cheeger-Colding devoloped a general structure theory on manifolds with Ricci curvature bounded below. In the present programme, we'll use these new geometric tools to further study the geometry and topology of manifolds with certain bounded curvatures, in particular Ricci curvature bounded below, e.g. the structure of fundamental group etc.

该计划可看成上一个计划“完备非紧流形的结构、函数论性质及其应用”（No19801026）的继续，但更侧重于流形的几何和拓扑方面。Cheeger-Gromoll关于完备非紧具非负截曲率流形的结构定理之后，人们把更多的注意力放到Ricci曲率上。在那之后，人们发展了各种研究黎曼流形的工具，如：Cheeger-Gromoll分裂定理，Grove-Shiohama关于距离函数临界点理论，以及Abresch-Gromoll关于excess函数的估计等；另一个更重要的工具是Gromov等人的流形收敛理论。在此基础上，Cheeger-Colding发展了Ricci曲率下有界流形的一般结构理论。在前面计划中，我们侧重于使用比较定理及几何分析方法，目前计划我们将使用这些发展起来的几何工具进一步研究具某些有界曲率、特别是Ricci曲率下有界流形的几何与拓扑，如基本群的结构等。

该计划主要研究黎曼几何中的若干问题，特别地我们研究了具非负Ricci曲率且二次渐进非负截面曲率完备流形的几何与拓扑。这些问题的研究对了解流形的曲率与拓扑之间的关系具有重要意义。我们构造了五维及五维以上的相应流形，它们有无限拓扑型；因而就五维及五维以上的情形否定了Jiping Sha和Zhongmin Shen的一个猜测。这是非紧完备黎曼流形的几何与拓扑研究中的一个重要进展。