高维非线性系统的分支问题与仿真研究

The investigations for bifurcation problems of nonlinear systems have been always difficult work among hot points of research in dynamical sysytems. Comparably speaking, it is more easy for nonlinear systems with higher dimension to produce more complicate bifurcation problems than systems with lower dimension, such as homoclinic heteroclinic bifurcatio, zero-Hopf bifurcation, Hopf-Hopf bifurcation, Flip-Flip bifurcation, Fold-Flip bifurcation, etc.The problems for the stability discriminant of close obits bifurcated are extremly complicate and difficult. In this project, by using the center manifod theory, the bifurcation theory, the critical point theory, and some methods and means such as the Project Method, the Poincare Compactification, and numerical simulation, etc, on the one hand one will study various bifurcation problems for continuous nonlinear systems with higher dimension, where the systems are mainly the generalized Lorenz systems and some mathematical models for biology and ecology, inluding local bifurcation, global bifurcation and infinte bifurcation. On the other hand one will consider the bifurcation problems for the corresponding discrete models. In light of the comparison investigations of bifurcation problems for continuous models and their corresponding discrete models, the difference between them will be disclosed from th point of view of bifurcation theory. The investigations in this project will further improve and develop the theory and method of bifurcation for nonliear systems.

非线性系统分支问题的研究,一直是动力系统研究热点中的一项困难的工作。比较而言，高维非线性系统更容易出现比低维系统更加复杂的分支问题，如同宿、异宿分支，zero-Hopf分支, Hopf-Hopf分支, Flip-Flip分支, Fold-Flip分支等等。这些分支所产生闭轨的稳定性判别问题等是极端复杂而又困难的工作。本项目主要采用中心流形理论、分支理论、临界点理论, 以及投影法、Poincare Compactificatin、计算机仿真等方法与手段,一方面研究连续高维非线性系统（主要是各种各样的广义Lorenz系统以及一些生物生态数学模型）的各类分支问题（包括局部分支、全局分支和无穷远分支）；另一方面将研究相应连续模型离散化的分支问题。通过把连续模型与其相应的离散模型的分支问题进行对比研究，从分支理论的角度去揭示两者之间的差异。本项目的研究将进一步完善和发展非线性系统的分支理论和方法。

本项目主要研究高维非线性系统的分支问题。一是关于高维连续系统的同宿异宿轨及奇异退化异宿环的存在性与存在时的个数问题；另一是关于二维离散系统的Flip 分支，Fold分支，Neimark--Sacker分支以及分支出闭轨的稳定性的判定问题等。.得到一些重要结果如下：.一是发现了连续系统通向混沌的新的路径：系统从稳定到不稳定时直接产生混沌。该结果为混沌产生类型提供了新的种类，具有重要的科学意义。.二是证明了“三维Lorenz-like系统奇异退化异宿环存在时具有无数条”的一个猜想; 该结果将为后续研究三维系统的奇异退化异宿环存在时具有无数条提供借鉴。.三是纠正了一个10多年来用于研究二维离散系统的稳定性与分支问题的被许多已有文献反复引用的一个关键引理，给出了新的完整的判别准则。我们的结果为今后研究二维离散系统稳定性与分支问题提供了基本判断准则，具有重要的科学意义和广泛的应用前景。 .四是首次发现了非孤立平衡点的新类型：ellipse-parabola-type（椭圆抛物型） 和 hyperbola-parabola-type（双曲抛物型）平衡点，并且严格证明了该系统具有无穷多条ellipse-parabola-type 和 hyperbola-parabola-type的异宿轨。