高维非线性动力系统中几类高余维同宿、异宿环分支问题

The application project considers the bifurcation problems of homoclinic and heteroclinic cycle with higher codimensions in higher dimensional systems，including the resonant cycles, orbit flip cycles, inclination flip cycles, cycles connecting nonhyperbolic equilibria or nonhyperbolic invariant manifolds. Especially we focus on the corresponding bifurcation phenomena of heterodimensional cycles. These kinds of bifurcation phenomena always have complicated patterns. The known methods have been unable to use the invariance of the invariant manifold and reflect the inherent dynamic properties of the system. On the one hand this project will make a further promotion to the known transformation of coordinate frame such that it can better be applied to the corresponding bifurcation problems of the system connecting saddle focus equilibria, and can be successfully used to solve several kinds of piecewise smooth systems and the system with time-varying perturbation, on the other hand, the special transformation is given to make it better suited for the corresponding bifurcation problem of the high dimensional systems with special symmetry such as time reversal symmetry etc. We will reveal new bifurcation phenomena, including new bifurcation orbit types and their mutual transformation rules, solve some difficult problems that can not be solved completely by the known methods, which lays a foundation for further study of other higher codimension bifurcation problems of singular cycles.

本申请项目对几类同时具有包括共振、轨道翻转、倾斜翻转等多重退化叠加且有可能伴随着双曲奇点和法向双曲不变流形退化为非双曲的具有较高余维数的高维光滑系统的高余维同宿、异宿环分支问题，特别是相应的异维环分支问题，开展深入的研究工作。这类分支现象往往具有极其复杂的分支样式。已有方法已无法利用和反映有关不变流形的不变性和上述系统固有的动力学性质。本项目将对已有的活动坐标架法一方面作进一步的推广和精细化改造，使其能更好地适用于具有鞍焦点的相应系统的分支问题的研究，并能成功地用以解决几类分片光滑系统及带有时变扰动的光滑系统的相应分支问题的研究，另一方面，进行量身定制的特殊化改造，使其能更好地适用于具有时间反转对称等各种对称性的高维系统的相应分支问题研究，揭示新的分支现象，包括新的分支轨道类型及其相互转化的规律等，解决几个目前方法无法完全解决的困难的问题，并为进一步研究其它高余维奇异环分支问题奠定基础。

本申请项目对几类同时具有包括共振、轨道翻转、倾斜翻转等多重退化叠加且有可能伴随着双曲奇点和法向双曲不变流形退化为非双曲的具有较高余维数的高维光滑系统的高余维同宿、异宿环分支问题，特别是相应的异维环分支问题，开展深入的研究工作。这类分支现象往往具有极其复杂的分支样式。已有方法已无法利用和反映有关不变流形的不变性和上述系统固有的动力学性质。本项目对已有的活动坐标架法一方面作进一步的推广和精细化改造，使其能更好地适用于具有鞍焦点的相应系统的分支问题的研究，成功地解决几类连接鞍焦点的同宿、异宿环的相应分支问题的研究, 目前正用于研究分片光滑系统中奇异环分支问题的研究，另一方面，进行量身定制的特殊化改造，使其能更好地适用于具有时间反转对称等各种对称性的高维系统的相应分支问题研究，揭示新的分支现象，包括新的分支轨道类型及其相互转化的规律等，解决了几个目前方法无法完全解决的困难的问题，并为进一步研究其它高余维奇异环分支问题 奠定基础。