高非线性随机微分方程的显式数值格式及其理论分析

Stochastic differential equations frequently appear in various fields such as finance, control theory, and statistical physics, etc. Stochastic differential equations in many applications have highly nonlinear coefficients. This research project focuses on designing explicit methods for stochastic differential equations with highly nonlinear coefficients. We will construct new types of truncated methods, explicit exponential finite difference schemes and their fast algorithms for classical stochastic differential equations and mean-field stochastic differential equations with highly nonlinear coefficients. We will also develop adaptive explicit schemes with variable step size for highly nonlinear stochastic differential equations. Furthermore, we will derive theoretical results of stationary distribution of mean-field stochastic differential equations, and will analyze the numerical approximation to the stationary distribution by the underlying numerical methods. The achievements of this research project would not only enrich the theory of numerical solutions of stochastic differential equations, provide new ideas and new methods for many types of classical stochastic differential equations and mean-field stochastic differential equations, but also have significant theoretical value and application prospects.

随机微分方程在金融、控制、统计物理等领域具有广泛应用，多数应用领域的随机微分方程模型具有高非线性系数。本项目重点研究高非线性随机微分方程的显式数值方法，主要包括高非线性经典随机微分方程与平均场随机微分方程的新型截断格式、指数型显格式及其快速算法，经典随机微分方程的随机变步长显格式以及平均场随机微分方程解的稳态分布理论与近似等研究内容。本项目的研究成果将丰富和发展随机微分方程的数值计算理论，为经典随机微分方程以及平均场随机微分方程等问题的数值计算提供新思路和新途径，具有重要的理论意义和应用价值。

随机微分方程是金融、控制、物理等领域的重要数学模型，同时多数应用领域的随机微分方程模型具有高非线性系数。数值方法是探索这些模型及其关联科学问题的重要手段之一，而对于大规模复杂问题，高效算法能大幅提升研究的效率。. 高非线性系数条件下随机微分方程的高效数值方法的构造及其收敛性、稳定性、稳态分布相关的理论是课题组重点关注的研究内容。当系数满足Khasminskii条件等较常见的一般化非全局Lipschitz条件时，针对非自治随机微分方程以及随机延迟微分方程，引入显式截断Milstein型方法、随机θ方法等数值格式，获得了其收敛阶以及稳定性结论，并且发现了非自治问题中时间变量的Hölder指数对收敛阶以及时滞对稳定性的影响机制。对于带马氏切换的高非线性随机微分方程，较好地解决了马氏链状态转移频率对高非线性问题的高阶格式的理论分析带来的困难，同时也为大规模随机微分方程组的求解提供了新的思路。采用部分融合解析手段的方法，提出了求解时变随机微分方程的Euler方法以及随机微分方程的半解析分裂Milstein方法，并给出了收敛性分析的结果。提出并完善了随机微分方程线性两步法的稳态分布理论，并且发现了该理论与求解凸优化问题的动量随机梯度下降法的联系，为相应优化算法的收敛性分析提供了可行的理论框架。对于平均场随机微分方程，重点关注状态变量为高非线性条件下的混沌传播理论的建立及其关联的交互粒子系统的高效算法，包括随机分批法与自适应算法等，课题组在算法的实现和理论分析方面都取得了进展，相关研究成果对平均场随机微分方程这一前沿领域的研究起到积极推动作用。. 在项目执行期间，发表了高水平学术论文29篇，均被SCI收录；培养了博士研究生6名，硕士研究生14名。项目所获成果丰富并拓展了随机微分方程算法理论的研究内容，且在随机优化、随机控制等相关领域具有广泛应用前景。