癌症研究关键问题中的分歧与计算方法研究

癌症治疗是生物医学领域富有挑战力的课题，应用数学家对其关注的程度日益提高。本项目从癌症转移与复发这两个重要研究领域中寻找新的数学问题，我们主要通过构造数值方法来完成模型的分析。实体肿瘤在启动转移时，其对称性会发生改变甚至被破坏，本项目通过构造新的数值方法计算出模型的对称破缺分歧点，从而分析生物参数对癌症转移的影响。另外，为了研究前列腺癌的间歇荷尔蒙抑制疗法，我们建立分片光滑混合模型，通过数值计算，研究模型中周期振动等动力学行为，而这些动力学现象都被认为有助于抑制前列腺癌复发，研究结果在选择治疗的启动(停止)时间以达到最佳治疗效果等方面有潜在医学应用价值。

项目执行三年来，课题组按照项目计划，开展了以下几方面的研究：描述前列腺癌间歇治疗的含有切换状态的偏微分方程模型分析，椭圆型偏微分方程的对称正解与对称破缺分析，时滞微分方程模型数值解与周期解的近似，随机模型的数值近似与动力学行为分析。这些研究结果可以从以下三个角度来看。从生物数学模型的角度来看，通过对间歇治疗模型的分析我们提出了一种最优治疗方案，对原有结果改进后，提高了相关生物参数的分析与利用价值。从动力学的角度来讲，课题组主要分析了周期振动这种时间动力学行为以及解的对称性转换这种空间动力学行为。通过对几类椭圆型偏微分方程的分析，我们运用分歧计算的方法近似得到模型的正解，而且这些解具有不同的对称性，该方法的优点在于克服了迭代初始值选取的困难。从数值分析的角度来说，我们也研究了模型求解方法的收敛性与数值稳定性。时滞会给模型带来更为复杂的动力学现象，也给数值方法的分析带来了困难，我们构造连续化块方法求解含有时间延迟的问题，收敛阶高而且数值格式具有良好的计算稳定性。另一方面，在项目执行期间，课题组关注国际上相关研究进展，适时加入了随机模型计算的内容，并已取得初步进展。我们发展了一种数值格式，该格式精度得到了提高、计算稳定性好，而且通过对参数的调节能保证数值解的非负性，还能长时间有效跟踪振动解。截至目前，本项目共培养硕士研究生8名（其中在读4名、毕业4名），发表有标注文献13篇，其中SCI七篇，国内核心刊物两篇，还有一篇标注国家自然科学基金资助但缺少项目批准号，近期另有1篇接受发表。课题组已顺利完成研究计划，并通过本次研究获得了新的研究思路。